頭の体操四

暇つぶしに見て

2024.11.18

可付番集合

可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである^[1]。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう

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自然数との全単射性がのある集合が可付番。

偶数は可付番

偶数2n
∀n∈ℕ(n→2n)

自然数の演算は閉じているので任意の自然数を二倍した値は常に自然数の元。奇数も同じ二倍して1足して自然数。

|ℕ|=|2N|=|2N+1|

次が言えます。
可付番(偶数)+可付番(奇数)=可付番(自然数)
自然数×2=可付番(自然数)+可付番(自然数)=可付番
自然数×3=可付番

以上から整数も可付番です。

正数に偶数を、負数に奇数を割り当てられます。

|自然数|=|偶数|=|奇数|=|正数|=|負数|=|負数+正数|=|正数|
濃度の推移律より
|自然数|=|整数|
従って、整数と自然数の濃度は同じになります。

すなわち、

ℚ={a/b∣a,b∈ℤ∧b≠0}

である（ただし、Z は整数全体からなる集合を表す）。

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分子を固定し、分母だけを増加させた場合
{1/1,1/2,1/3…1/n}
の集合が可付番なのは、その定義から自明。
また、分母を固定した場合の分子の取りうる元は可付番(無限個)通り。
任意の分母に対して可付番通りの分子。任意の分子に対して可付番通りの分母。

有理数は可付番×可付番個。
可付番+可付番+可付番+…可付番
と変形できるので有理数は可付番であると言言えます。

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