双対の文脈を読解してみる
再び双対と遭遇。こいつは強敵。
そもそも論として「双対」とはなんぞや、と。
字面は理解できます。が、「その心は？」が理解できません。
何故数学界はコイツを仲間に加えたのか、という疑問です。そこは厳密に存在意義を評価される過酷な社会であるはずなので、優秀でなければ排除されます。数学社会に溶け込めたからには、双対はかなり優秀であるはず。
この記事は我流で「双対、その心は？」を読解し文脈を与える試みです。
「双対」が数学界へ仲間入りできた文脈を明らかにしなければ気持ちが悪くて前へ進めません。
現時点の手がかりはウィキペディアのみ。
双対（そうつい、dual, duality）とは、互いに対になっている2つの対象の間の関係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある（双対の双対はある意味で “元に戻る”）。
命題を論理式として表したとき、論理和 ∨ と論理積 ∧ とをすべて入れ替え、全称記号 ∀ と存在記号 ∃ とをすべて入れ替えたものをもとの論理式の双対といい、入れ替えて得られた命題をもとの命題の双対命題と呼ぶ。双対の双対はもとの命題に一致する。
引用ウィキペディア
ウィキペディアを読んだ感じだと
男と女、∧と∨、真と偽、善と悪、始まりと終わり、存在と非存在
などの、「二項関係」で結ばれた二つの概念の間の規則を明らかにしたい、という願いが込められたのが「双対」かなあと。
この視点から、双対は二つの要素の間に関係として顕在化する、ヒトの認識の規則を明らかにしようという試みだ、と解釈しました。
とりあえずはこの解釈で話を進めます。
A〜¬Aの双対
否定と肯定の関係。
1か0か、在るか無いか、という0次元まで情報を削ぎ落とすので、それは単一的な、それだけの規則(=関係)になるのかなと。すなわち0次元にはそれしか「関係(認識)」が存在しない、ということ。
A〜¬A
は、他には何も付属しない、それだけの関係。
現時点ではこれ以上は推理が及ばないので、とりあえずはこの理解で進めます。
論理の双対
論理の推論規則は¬∧∨に集約されます。¬は肯定と対をなしています。つまり¬は、「〜である」という肯定文の存在を暗黙的に含意します。
ある文（≒認識）は、暗黙の前提として肯定が含意されているので、¬だけでも二項関係が成り立つということです。
∨∧¬の関係を考えるのが、論理における双対だと現時点では仮定し、その視点から解釈を与えてみます。
A∨B
の双対は
A∧B
この逆も真。
それはつまり、どのような推論であるのか。
A∨B(仮定)
¬(¬A∨¬B)(双対)
¬¬(A∧A)(ド・モルガンの法則)
A∧B(¬¬除去)
二行目が双対の演算。
∧(∨)で繋がれた全体と、その各要素を否定したのが、∧(∨)の双対∨(∧)。
真偽が0次元なら、論理は1次元ですかね。
第一双対定理
以上を元に集合の双対を考えます。
A=(a₁∧a₂∧a₃∧…Φ∧U)
の双対は
A^d=(a₁∨a₂∨a₃∨…U∨Φ)
双対集合A^dの否定とその各要素の否定を行うと元に集合Aへ戻ります。
=¬(¬a₁∨¬a₂∨¬a₃..¬Φ∨¬U)
=¬¬(a₁∧¬a₂∧¬a₃∧…U∨¬Φ)
=(a₁∧¬a₂∧¬a₃∧…U∨¬Φ)
集合Aの各要素の補集合を集めた集合の補集合が双対。日本語にすると混乱します。
∀と∃の双対
第一双対定理と同じ話だとは思いますが。
集合は
X=(a∧b∧c…)①
だと仮定します。
これは
∀x∈X
と言い換えられると仮定します。
①の双対をとると
X=(a∨b∨c…)
となり、これは集合Xの要素のいずれかが真である、すなわち
∃x∈X②
と言い換えられると仮定。
①②より、∀の双対は∃、その逆も真と言えます。冒頭のウィキペディアの引用とも一致しますので、とりあえずはこのまま先へ進み、この解釈が整合しなくなればその時に考え直すとして、ひとまずは終わります。
感想。次元が上がるほどに双対の認識は複雑化して吐き気をもよおす。
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