数学を学んでいると、数学は認識世界の話であり現実の話をしているのではないと、深く理解できます。当たり前と言えば当たり前なんですが、人の性質はそれを忘れさせます。
僕の興味の範囲が徐々に絞られていくのを感じ、またそれは証明の手続きや概念の創造という点であることを感じています。
色んな本を読みながら「これだ」と感じる分野を発見しました。
本の中では「無定義術語」という概念が定義されています。
具体的な何かを指定しているわけではない、ただの入れ物としての概念です。
無定義術語は、「線」を「線」としてではなく、それとそれではないものとの関係に注目して、それが認識されるような仕組みを提供しているのだと現時点では結論しています。
具体化すると、
「椅子」を「椅子」として定義するのではなく、人との関係によって「椅子」を定義するということ。この考え方でなら、現実には、例えば「車」であったとしても、人がそれに座っているならそれは「椅子」と定義できます。
これの何が嬉しいのかを予想すると、恐らくは概念の適用の範囲が拡大されるからではないかと考えています。
「点」と「線」の抽象的な関係だけを定義するなら、点と線で議論できる領域は格段に広がり、公理から導き出した定理≒法則性を応用できる分野は膨大になります。
聞くだけなら当たり前のことな気がしますが、数学的厳密さでとなるとその難易度が高く、また確からしさの保証が難しいのでしょう。
仮にある公理が適用できない空間が現れたなら、その公理を失敗だと切り捨てるのではなく、比較によりまた別の公理を作ればいい、と言う風に考えられます。
マクロで通用する運動法則がミクロで通用しないなら、新たな公理を作って整合させれば良く、またそうやってできたマクロとミクロの公理の比較で妥当な公理が導かれれば良いわけです。世界を作る時の柔軟性を高める考え方なのかなあと。
「関係によって概念は定義される」という僕の考えをさらに発展させたようなやり方。
ある枠組みをいくつも存在する内の一つと定義してしまえば、現実との整合性の取れない部分であっても、それはそれとして存続させられます。
この場合は「絶対的に正しくあるべき」という立場から離れて、「比較的に正しそう」という発想の元に議論を組み立てられます。
そもそも論として、所謂「論理的な結論の正しさ」は、あくまでもそうでないものとの比較によって確かめられます。
人は「関係」によって物事を認識します。不幸との比較で幸福が定義され、その幸福との比較でさらなる幸福が定義されます。
同じ様に、感情的な痴話喧嘩と比較すると論理的な議論は正しそうだ、とか、人の認識を厳密化した科学的な手続きは他のそれよりは正しそうだ、とか。基礎基本と比較して長濱拳法は正しそうだ、という具合に序列が認識の主体となります。
人は比較においてのみ、その確からしさを定義できます。絶対的な正しさを認識する能力は人には与えられていないだろうと、そして遠い将来にそれは証明されて、その存在の無意味さに人は絶望するだろうと僕は予想してます。
公理系という考え方もこれと同じ様なことだろうと。
比較的に正しそうな前提の集合から演繹された、妥当な論理構造は比較的には確かだろう、ということ。
違和感の源泉は、「車」と「椅子」との間にある「抽象的な度合いの差」を本能は認識してくれないからと思います。習慣的直感的に「車」を認識する本能と、「抽象的な度合い」を深めて「椅子」を認識しようとする理性とが競合しているのだと感じます。
公理にもとづく数学の定式化は、記述の定式化を促し、さらに数学をものの内在的な意味からはなれた形式的な記号の操作だと見なす考え方を導いた。公理とは前提として任意に選ばれた論理式にすぎず、その論理式から単なる記号操作で得られる論理式が定理であるという立場をとる論理学者や数学者もいる。このような考え方にたてば、ユークリッド幾何学における点や直線・平面は、論理式によって指定される性質を満たす限り、抽象的な記号操作の対象にすぎず、現実世界におけるいかなる物体を表しているわけでもないことになる。現実世界における点や直線、平面の形をしたものやそれらの間の関係性を調べることは、ユークリッド幾何学の意味(セマンティックス)を推察する助けにはなるが、公理にもとづく定理の推論（ユークリッド幾何のシンタックス）がそこから直ちに従うわけではないことになる。
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