矛盾の認識 | 長濱陸のブログ

矛盾の認識

暇つぶしに見て

2024.04.24

論理的に矛盾する関係（論理）ってどんなのがあるたまろうとふと思って考えて見ました。

矛盾は命題の如何に関わらず恒に偽となる式。
例えば

A∧¬A=⊥

上の論理式は命題の真理値にかかわらず恒に偽となる論理式。つまり恒偽式=矛盾=⊥です。

この推論が論理的に正しいことを演繹してみます。

A∧¬A→⊥(仮定)
¬(A∧A)∨⊥(→言い換え)
¬(¬A∧A)(⊥除去)
¬¬A∨¬A(ド・モルガンの法則)
A∨¬A(二十否定除去)
T(恒真式定義)

A∧¬A→⊥⇔T
「Aであり、かつAではないは矛盾する」
は恒真式と同値関係であることが証明されました。

命題の真偽に関わらず真となる論理式=恒真式=T。

A∧¬Aから⊥を導く推論はTであると同値関係。
つまり、この議論な論理的に認められるということ。

A∨¬A→T(仮定)
¬(A∨¬A)∨T(→言い換え)
¬A∧¬¬A∨T(ド・モルガンの法則)
¬A∧A∨T(二重否定除去)
⊥∨T(恒偽式定義)
T(⊥除去)

A∨¬A→T⇔T
「Aであり、またはAではないは恒に真である」と認める議論の枠組みは真である、ということ。

恒真式の否定は恒偽式。恒偽式の否定は恒真式。
T=¬⊥
¬T=⊥
「真偽の関係はこうだと認めて議論しようね」という定義です。再三となりますが、あくまでも人の認識で定義した「真」「偽」と、それで判定できない「矛盾」という認識です。
現実がそうである保証はありません。

なので上の式の否定は恒偽式になります。

¬(A∨¬A)→⊥⇔T
翻訳すると
『「AまたはAではない、ではないは矛盾」は正しい推論である』

閑話休題。
他にも探してみました。

(A→¬A)→⊥
翻訳
「『Aである、ならばAではない』は矛盾する」は正しい推論。

一見矛盾してそうなこの認識。
結論はどうなのか。

(A→¬A)→⊥(仮定)
(¬A∨¬A)→⊥(→言い換え)
¬(¬A∨¬A)∨⊥(→言い換え)
A∧A∨⊥(ド・モルガンの法則)
A∨⊥(べき等律)
A(⊥除去)

(A→¬A)→⊥⇔A

「『Aである、ならばAではないは矛盾』はAと同値関係」

恒偽式なので前件のA→¬Aが真の場合以外でのみ、命題全体が真となります。
下の顔位の規則に沿って暗算したところ、(A→¬A)→⊥はAと同値関係にあります。
演繹は正しい。

[table id=implication /]

何故、こんなことしてるのかと言うと、
矛盾律は倫理的に導き出せる定理なのか、それとも定義なのか？と疑問に感じたから。
律なので推論規則から導き出せる法則（定理）という意味が与えられている気がするので。

もう少し矛盾という認識について考えてみます。

矛盾
科学史家で科学教育家である板倉聖宣は矛盾は「人間が矛盾が起こるように考えるから矛盾がある」のであって、「動いているものを静止の論理でとらえようとする」「変化しているものを静止させて考える」人間の思考に原因がある、とした[13]。矛盾は人間が認識したもので、「矛盾でとらえざるを得ないものがある」のであって、「矛盾そのものが存在するのではない」「我々がそこに矛盾を認めるということは、それが運動しているか変化している」と考えた[14]。従って板倉は、「矛盾としてとらえたものは変化発展しているのだから、「矛盾は発展の原動力だ」というのは当然だ」としている[14]。
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