1との乗法

昨日の交換法則には推論規則を満たさない欠点があったので、そこを修正するために試行錯誤していきます。

今回はそこを修正すべく別の手段を考えてみます。

1と任意の自然数の乗法についての定理を導きます。

a×1=1×a=a

が定義から導けるのか、を検証します。　

0と任意の自然数の乗法が常に0となることは証明しています。

a×1の場合

a×1(前提)
(a×0)+a(乗法定義)
0+a(乗法定義)
a+0(加法交換法則)
a(加法定義)

任意のaに対してa×1=aが成立します。

次に1×aを導きます。
数学的帰納法を用いるのて1×0の場合から

1×0(前提)
0(乗法定義)…①

1×1の場合

1×1(前提)
1×0+1(乗法定義)
0+1(①より)
1+0(加法交換法則)
1(加法定義)

ここまでで以下の規則性がありそうだと推論できます。

1×a=a→1×s(a)=s(a)

任意の自然数aに1をかけるとaになり、それが成り立つなら全ての自然数においてもこの規則が成り立つ。

1×s(a)(前提)
1×a+1(乗法定義)
a+1(仮定)
s(a)(加法定義)

1×0=0が成り立つことは先程証明しているので、連鎖的にその後者の乗法でも成り立ちます。

1×a=a×1=a

が成り立ちます。