含意は論理包含の別名です。
推論規則は論理学で推論を行う際に利用してよい式の変形法則。
導入と除去のうち、今回は導入を学びます。
推論規則 導入
一見しただけでは「どうしてこんなことを決めるの？」と思ってしまいますが、僕は「人の認識によって新たな宇宙を創っている」と考えることで納得できました。新たな世界を創る為に厳密である必要があります。
あくまでも人の認識が土台となっていますが、厳密化の過程で、普通の人の感覚からは乖離してしまっています。
普通の感覚に戻って「aならばb」「aかつb」を考えてしまうと、当たり前過ぎて分からなくなります。しかし、論理的宇宙では当たり前ではありません。だからあえて厳密に決める必要があります。
演繹図
演繹図は横線から上が演繹の過程、下が結論です。
横線より上には論理式変形の過程が記述されます。
$\begin{gather} 前提A \\ 演繹\\ \vdots\\ \frac{B}{結論A \to B} \end{gather}$
推論規則（すいろんきそく、英: rule of inference, inference rule, transformation rule）とは、論理式から他の論理式を導く推論の規則である。
Wikipedia
∧（論理積）導入
読み方がわからないので、∧（ろんりせき）導入って読んでます。勝手に。
ここで判断 “A true” について述べる。論理結合子を結論として導入する推論規則を導入規則（introduction rules）と呼ぶ。論理積を導入するとは、命題 A と B について “A and B true” を結論とすることに他ならない。このとき、”A true” と “B true” の証拠が必要である。これを推論規則で表すと、次のようになる。
$\frac{A\hbox{ true} \qquad B\hbox{ true}}{A \wedge B\hbox{ true}}\ \wedge_I$
Wikipedia
Wikipediaの引用を例に説明すると。
横線より上にあるA,Bは前提の命題です。
二つの命題が前提とて用意されています。
この場合、導入法則により結論を導くことができ、結果は横線の下に置かれます。「Aである」と「Bである」は「AかつBである」に変形できることを意味します。
$\frac{A\hbox{ true} \qquad B\hbox{ true}}{A \wedge B\hbox{ true}}\wedge_I $
既述したように、日常的な感覚では「当たり前だろ」という気がしますが、その感情は横へ置いておいて、今は論理学的空間を創っていると考えてください。その空間は僕たちの感覚を理解しませんので、教えてやる必要があります。
→（含意）導入
含意は論理包含です。
これも論理積導入と同じように導入規則を設けます。
$\begin{gather} \cancel{A} \\ \vdots \\ \frac{B}{A \to B}\wedge_I \end{gather}$
前提Aを演繹によりBに変形できたなら、A→Bの含意の形に置き換えて良いよ。
ということですね。論理包含の形に前提は取り込めたのでAはキャンセルします。
当たり前と感じてしまいますが、それは日本語的が話せて、人間的な認識と推論の感覚を持っているからです。
1から議論の規則を創り上げています。
その世界では過不足なく情報を集められたら、常に何かしらの真実（真偽）へ到達できなければならず、それは前提が真なら結論も真となる形になってほしい。その希望を満たす規則ににしているんです。きっと。
根底にあるのはそんな思想だろうと思います。
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