論理包含の法則とか眺めていたらふと、思ったことがあって。
それは数学的（論理的）に証明が正しいことの定義ってどうなっているのだろうと。
この手順を踏んだ場合のみ、前提から導き出した推論は正しいと言っていいって公理があるはずですが、そういえば知らなかったと。
推論の妥当性の定義
推論とは
以下Wikipediaから推論について引用してきました。
【推論規則】
とは、論理式から他の論理式を導く推論の規則である。記号、公理、代入規則、推論規則によって理論を形式化したものを公理系という。
Wikipedia
【推論】
Wikipedia
とは、既知の事柄を元にして未知の事柄について予想し、論じる事である。
推論の正しさを妥当性という。あらゆる事柄は言語において表現されるのであるから、妥当な推論には、その推論が指し示す事柄が妥当であること（意味論）、その推論が行われた状況において妥当であること（語用論）、その推論の構文が妥当であること（構文論）、が考えられる。
論理学の古典論理では、ある言語によって表現された文章内容が「真偽を問えるもの」であった場合、それを命題と呼び、ある命題から他の命題を導くことを推論という。このとき、導かれる元の命題を前提または仮定といい、導かれた命題を結論という。
【妥当性】
Wikipedia
ある論証が、前提が全て真であれば結論も必ず真となるような形になっている時、その論証を妥当(だとう、英: Validity）であるという。
【命題】
Wikipedia
英語: proposition）とは、論理学において判断を言語で表したもので、真または偽という性質(真理値)をもつもの[1][2]。また数学で、真偽の判断の対象となる文章または式。定理または問題のこと[3][疑問点 – ノート]。西周による訳語の一つ[4][5]。
【論証】
Wikipedia
と呼ばれる宣言的文の集まりと結論（conclusion）と呼ばれる宣言的文から構成され、前提群から結論が真であることが導き出せることを主張したものである。そのような論証には、妥当なものと妥当でないものがある。なお、個々の宣言的文は真（true）か偽（false）かで判断されるが、論証は妥当（valid）か妥当でない（invalid）かで判断される。英語では、宣言的文をstatementや命題（proposition）と呼んでいたが、最近では哲学的な含意を避けるためsentenceと呼ぶことが多い。
健全性（けんぜんせい、英: Soundness）は、論証が次の属性を持つことと同値である。
Wikipedia
1.その論証は妥当である。
2.その前提の全てが真である。
僕なりの解釈でまとめると。
まずは議論の対象を決める（命題）。その対象をさらにいくつかの命題（前提）に分割し、大きな一つの命題（結論）とする。その時、「前提が全て真ならば結論も真となる」場合に限り、その論証は「妥当（論理学的な意味で）」であるとする。
論証の妥当性と結論の真偽は無関係であるから、論証が妥当でも結論が偽である健全でない議論は当然あり得る。
「前提が全て真、且つ妥当である」場合にのみ、その議論は「健全」であると言える。
こんな感じでしょうかね。
「『健全性』は『妥当性』と何が違うねん」て言いたくなりましたが、下の文章を読めば理解できます。
「妥当性」は個別の前提の具体的な真偽を問うのではなく、論証そのものが妥当であるかどうかを問います。
前提が全て真でかつ「妥当な」手続きにより結論が導かれているなら、その議論は「健全」だと言えるわけです。ややこしいのですが。
例3は前提の命題が全て真なら結論の命題も真となり、前提の命題が全て真である「妥当且つ健全」な論証です。
一方で例4は前提の命題が真なら結論の命題も真となる妥当な論証ですが、前提の命題は偽となるので健全ではない論証となります。
例1（妥当）
全ての人間は死ぬ。ソクラテスは人間である。
結論：ソクラテスは死ぬ。
例2（妥当）
Wikipedia
全ての猿はバナナを好む。
富士山は猿である。
結論：富士山はバナナを好む。
次のような健全な論証があるとする（三段論法）。
全ての人間は死ぬ。
ソクラテスは人間である。
従って、ソクラテスは死ぬ。・・・（例3
この論証は妥当であり（前提から結論が導かれ、前提を真とすれば結論が真であるため）、前提が真なので、論証全体としては健全である。
以下の論証は妥当だが、健全ではない。
全ての動物は飛ぶことができる。
豚は動物である。
従って、豚は飛ぶことができる。・・・（例4
大前提は実際には偽であるため、この論証は妥当だが健全ではない。Wikipedia
【まとめ】
論証が「妥当」であり、且つ前提が真であるような推論が「健全」と呼べる。
そうでない場合はその議論の”論理的”な確かさは保証されない。
まあ、こんな感じでしょうかね。
論理的な議論を行う為に覚えておかなければなりませんね。
代表的な推論規則は以下のようになっています。
これは次回それぞれ見ていきます。
演繹
前件肯定 P, P→Q ⊢ Q
後件否定 ￢Q, P→Q ⊢ ￢P
否定導入 P → ⊥ ⊢ ￢P
普遍例化 ∀xψ(x) ⊢ ψ(a)
存在汎化 ψ(a) ⊢ ∃xψ(x)
二重否定の除去 ￢￢P ⊢ P
二重否定の導入 P ⊢ ￢￢P
選言三段論法 P∨Q, ￢P ⊢ Q
仮言三段論法 P→Q, Q→R ⊢ P→R
導出 l∨P, ￢l∨Q ⊢ P∨Q
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