素人が数学に挑戦加法の定義

自然数が群であることを証明する過程で演算の閉性を示そうとしてたんですけど、そういえば「加法」「乗法」の定義をきちんと知らないよなあって。
このままじゃ「スカラー倍で～」とか「行列積が～」とかドヤれないですね。
数学やる理由はドヤァってやりたいってだけなのできちんと定義を学ぼうと思います。

と言っても一度自然数の定義でやっていることの復習になってます。

加法の定義
1. 素朴な定義
2. 厳密な定義

加法の定義

素朴な定義

素朴な定義
2つの量があり、その2つの量を「合わせた量」を求める時の演算を加法と定義すれば多くの場合に適用できる。単に「数が大きくなる演算が加法」とすれば、正の数でしかその定義は成り立たないが、「合わせた量」で定義すると、負の数でも分数や小数でも定義できる。
Wikipedia

感覚的な理解だとこんな感じですね。

厳密な定義

数学による加法の厳密な定義はこう。

$a \in \mathbb N;a + 1 = S(a)$
$a,b \in \mathbb N;a + S(b) =S(a + b) $

あっさりしすぎてるので僕なりの解釈で補足しておきます。
あくまでも長濱説です。

一行目はa + 1がaの後者になることを要請しています。
二行目は左辺を右辺のように変形して後者関数でまとめあげられることを要請しています。

上記の意味を組み合わせて解釈するとこんな感じの理解になります。
自然数の起点は定義によって違いますが1か0です。
どの自然数の元であっても起点となる1と0を使えば、後者関数を入れ子にすることで表せます。
$(((((1)))))… = x \in \mathbb N$
※() = 後者関数

a + 5 = a + ((((1)))) = ((((a + 1))))
上式のように変更できることを要請しているのだと解釈しています。
一言でまとめると、後者関数だけで式を表現できるってことです。

具体例で示します。
2 + 3
を定義通り変形すると
2 + 3 = 2 + (2) = (2 + 2) = (2 + (1)) = ((2 + 1)) = (((1) + 1)) = (((1 + 1))) = ((((1))))
こうやってどんな自然数同士の加法であっても後者関数の入れ子にすることで一意に表現することができます。

上の加法の定義はあっさりしすぎて逆に混乱してしまいますが、こんな解釈をされているのだと僕は思いました。
とりあえずこれで進めていきます。
また定義から、後者関数で表現できる自然数の加法は常に閉じていると言えます。