素人が数学に挑戦 …写像?

股関節おじさんの部屋

ベクトル空間の理解のために写像って概念が必要なのでざっと学習します。
写像は集合論に出てくる概念で、集合と集合の対応関係を表しています。

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写像

定義

とりあえずいつも通りWikipediaの定義を読んでみます。

写像
集合 A の各元に対してそれぞれ集合 B の元をただひとつずつ指定するような規則 f が与えられているとき、f を「定義域(あるいは始域) A から終域 B への写像」といい
$f:A \rightarrow b$
と表す。

Wikipedia

元はその集合の要素のことです。
要約すると集合Aから要素を選ぶと集合Bの要素がただ一つ指定される対応関係(規則)がある場合、これを写像と呼ぶってことですね。

したがって、集合Aから集合Bを指しているするような規則、「関数」も写像に含まれます。
例えば$2xやx^2$は実数の集合の要素を一つ選ぶと、それに対応する実数の集合の要素が決まりますよね。
$f(x):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
関数はこう表せる写像です。
実数の集合から実数の集合への対応関係を表しています。
※実数は複素数に含まれているので複素数から複素数への対応関係ともいえる

ベクトル空間が幾何ベクトルを拡張した概念になっていたように、写像は関数を拡張した概念です。

記法はこんな感じ。
$f:A\to B$
「fは集合Aから集合Bへの写像である」って意味。
大切なのはXの要素を一つ選んだらYの要素が一つだけに決まることです。
集合Aの要素1と2が集合Bの要素bを一緒に指していてもいいですが、1がaもbも指すことは許されません。

言葉と記号だけだと理解しにくいと思うので以下イメージを見ていきます。

写像のイメージ


写像のイメージです。

集合Xの要素がYの集合の要素と結びつけられていますね。

次に写像の分類を見ていきます。

単射

$f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$
関数fにx,yを入れて、返り値が同じだった場合は単射です。
$f(x) ≠ f(y) \Rightarrow x ≠ y$
逆も然り。

全射

$f:A \to $について、$ran(f) = B$
fがAからBへの写像であるとき、fの値域がBであるならば全射です。
どんなAの要素をとってもBの要素と常に対応している場合って意味です。

全単射

上記の二つの条件がそろった場合は全単射です。

全射だけど単射ではない。

単射だけど全射じゃない。

全単射。

勝間氏とひろゆき氏の議論は、実名制がネット上のモラルを担保するって思っている人とIPアドレスって仕組みがあるよって言っている人がそれぞれ違った論点で議論しているんでちぐはぐな感じになっているんですかね。

生産性のない議論でしたが写像って言葉を広めた勝間氏の功績は大きいと思います。

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Die Hard – ダイ・ハード
この記事を書いた人

第41第東洋太平洋(OPBF)ウェルター級王者
元WBC世界同級34位
元WBO-AP同級3位
元角海老宝石ジム所属

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