暇つぶしに見て 頭の体操四
可付番集合 可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう ウィキペディア 自然数との全単射性が認められる集合が可付番。 偶数は可付番 偶数2...
集合
暇つぶしに見て 暇つぶしに見て 双対と概念の創造
双対の文脈を読解してみる 再び双対と遭遇。こいつは強敵。 そもそも論として「双対」とはなんぞや、と。 字面は理解できます。が、「その心は？」が理解できません。 何故数学界はコイツを仲間に加えたのか、という疑問です。そこは厳密に存在意義を評価...
暇つぶしに見て 真部分集合の定義
A⊂B⇒A=B これを自然演繹風に反証しようとした場合、真部分集合がないと不便だなと。 真部分集合 集合 A が集合 B の真部分集合であるとは、A ⊆ B かつ A ≠ B が成り立つことである。 Wikipedia とりあえずこの定義を...
暇つぶしに見て 集合と含意と認識
WIISの述語論理の章が終わり集合論へ突入するのでその前に自分なりに論理と集合を結びつけてみます。 部分集合と含意 集合と含意は人の認識を厳密に考える為のもので、同じものであるというのが長濱説です。含意と部分集合でそれを説明してみます。A⊆...
暇つぶしに見て 含意と因果関係と写像
含意は因果関係 含意の認識 論理学や数学の基礎を成す人の認識について考えていきます。 含意「aならばb」は因果関係とみなすことができます。「殴られた→痛い」という含意は「殴られた」という命題が真なら「痛い」という命題も真となる因果関係の認識...
暇つぶしに見て 論理包含の法則その2 トートロジーと三段論法
下の記事の続き。Wikipediaにある他の法則も導いていきます。 論理包含の法則 同語反復 まずWikipediaの一発目。 $P \rightarrow P$（同語反復）Wikipedia 【トートロジー（恒等式）】（こうしんしき、トー...
暇つぶしに見て 論理包含の法則からドモルガンの法則を導く
下のリンクの続き。論理包含の定義から導き出せる性質（法則）を考えていきます。 論理包含の法則 論理包含の定義 前回学んだ定義の復習。集合を一般化したような概念で論理的に結論を導く方法として定義され、現時点では上手く行っているようです。集合論...
暇つぶしに見て 「論理包含」で正気を失う
部分集合から集合の相等関係の法則を導く証明の際に使用した下の法則を理解するために論理包含を学びます。 【ドモルガンの法則】$\displaystyle (P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow P)\right...
暇つぶしに見て 集合の相等関係と部分集合の法則
集合はモノの集まりと素朴には定義されます。集合と集合の間には足したり引いたりの演算が定義されています。和集合に差集合、共通部分に補集合といったものです。これは前回やりました。 今回は集合の演算を定義することで必然的に導き出される集合の定理（...
暇つぶしに見て 集合と概念と概念を創る
以下の記事で存在についての僕の個人的なイメージが少しだけ作られました。存在を定義する、概念を創るとは対象となる概念とそれ以外の概念との関係を明らかにすることであると現時点では納得できます。「動物」って概念の上に何らかの関係を定義することで「...
暇つぶしに見て 素朴集合論の集合の定義
集合と元の素朴な定義について学んでいきます。公理的集合論では厳密に集合を定義するようですが、慌てずに素朴集合論の定義から学びます。 集合 集合の定義 けっこうあっさりしていて「集合とはものの集まりである」です。整数、自然数、有理数などが集合...
暇つぶしに見て 数学は何をしているの？何が学べるの？何が楽しいの？
今回は僕が独学してハマった数学の僕なりの面白さ、数学が本質的に何をしているのか？という僕なりの解釈をお話します。 そのとっかかりとして「演算」という概念の話をします。 演算の定義 数学のやりたいこと 数学は真理を解き明かす学問で、そのための...