論理学

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同値関係の議論

同値関係は長濱式では下のように定義しています。前提の同値関係が成立しない場合の議論はどんな風に結論されるのかなあと。 同値関係 A⇔B≔A→B∧B→A≔は定義するの記号。 ((A→B)→T∧(B→A)→T)→T(前提)¬((A→B)→T∧(...
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正しい議論の形式

前件肯定、前件否定、後件肯定、後件否定の自然演繹っどんな感じなのかなあと我流で考えてみました。 前件肯定 ((A→B)∧A)→B(前提)¬((¬A∨B)∧A)∨B(→言い換え)¬(¬A∨B)∨¬A∨B(ド・モルガンの法則)¬(¬A∨B)∨(...
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認識限界としての矛盾

ふと疑問に思ったことを考えてみます。 矛盾と恒真式の関係 「恒真式の否定(反対)は矛盾」という結論の正しさについて。 先にT⇔A∨¬Aと定義します。 ¬T→⊥(前提)¬(A∨¬A)→⊥(恒真式)¬¬(A∨¬A)∨⊥(→言い換え)A∨¬A∨⊥...
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矛盾の認識

論理的に矛盾する関係(論理)ってどんなのがあるたまろうとふと思って考えて見ました。 矛盾は命題の如何に関わらず恒に偽となる式。例えば A∧¬A=⊥ 上の論理式は命題の真理値にかかわらず恒に偽となる論理式。つまり恒偽式=矛盾=⊥です。 この推...
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無矛盾律と排中律の自然演繹

無矛盾律 無矛盾律(むむじゅんりつ、英: Law of noncontradiction)は、論理学の法則であり、アリストテレスによれば「ある事物について同じ観点でかつ同時に、それを肯定しつつ否定することはできない」こと。Wikipedia...
よもやま話

議論の枠組みを疑う

常識や科学などの社会通年は無条件に当然の議論の枠組みとして受け入れられています。 ネットの辺境にある僕のブログへ読者の皆さんがたどり着いたのはきっと、現実を覆っているボクシングジムの様々なマトリックスに違和感を覚えたからではないかと思います...
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背理法などの議論の枠組み

恒真式恒真式(こうしんしき、トートロジー、英: tautology、ギリシャ語のταυτο「同じ」に由来)とは論理学の用語で、「aならば aである (a → a) 」「aである、または、aでない (a ∨ ¬a)」のように、そこに含まれる命...
未分類

論理和と論理積の分配法則 その4

引用の記事の続きです。(A∧B)∨(A∧C)→A∧(B∨C)とA∧(B∨C)→(A∧B)∨(A∧C)を証明して必要十分条件が成り立ちますが、後者の証明がされていませんでした。 というわけで下の同値関係の証明に挑戦。A∧(B∨C)⇔(A∧B)...
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∀と∃の交換律

基本的に我流定義なので、∀と∃の順番は気にしてませんでしたが「ちょっと待って、これ大丈夫?」と不安になったので ∀x∈X,∀y∈Y:P(x,y)⇔∀y∈Y,∀x∈X:P(x,y) が成り立つのか確認します。 ∀x∈X,∀y∈Y:P(x,y)...
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我流負数の交換法則とか

いつかの我流定義。-a=-s(a)+1今朝、ふとこれは定義ではなく定理だなと。 -s(a)+1(前提)-(s(a)+(-1))(負数定義)-(a+1+(-1))(負数定義)-(a)(負数定義)-a(負数定義)s(a)+1=-a 乗法で負数を...
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負数と正数の加法

数と負数を加法でどう結びつけるのか、を試します。 負数の我流定義-0=00×-a=0-1×-1=1a×-1=-a 正数(自然数)の場合の後者はs(a)=a+1 負数をa+(-a)=0という風に、自然数aに負数-aを足すと0となるような関係で...
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代入原理と対称律と推移律

代入原理と同値関係 代入原理: 対象 a, b が a = b であるときには、一つの自由変数 x を含むどんな命題関数 P(x) についても P(a) ⇔ P(b) が(両辺ともに一意的な意味を持つ限りにおいて)常に成り立つ。Wikipe...