論理学

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代入原理と対称律と推移律

代入原理と同値関係 代入原理: 対象 a, b が a = b であるときには、一つの自由変数 x を含むどんな命題関数 P(x) についても P(a) ⇔ P(b) が(両辺ともに一意的な意味を持つ限りにおいて)常に成り立つ。Wi...
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等号のカッコは外せるのか問題

数学を学んでいると何事も疑ってみる性格が身につきます。まあ、そんなひねくれた性格だから数学を楽しいと感じるのかもしれませんが。 今朝、目覚めて頭に浮かんだ疑問は(A=B)=CはA=B=Cに変形できるのか、()を外せるのか、です。自分...
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1+2+3…n=の自然数の法則

名前があるのかは不明な、ある自然数の法則を証明します。 あるnまでの自然数を足した値1+2+3+…n=???を導く法則。 まずは簡単な法則の仮説を立てます。0+1から 0+1=1n=1の場合は以下の式が仮説として立ちます...
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同値関係について、また考える

既に同値についてはどんな関係なのかを色々考えてきましたが、除法や減法のように我流で定義してみようと思います。 と言っても一度きちんとした定義は学んでいるので、なぜそのような定義になったのか?に個人的な文脈を与えます。 ...
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除法の我流定義

我流の減法の次は除法(割り算)の定義を考えます。 我流除法 数学ではない除法、つまり半分って人の一般的な認識は頭の中でどんな処理が行われているのか、を考えてみます。例として「4の半分は2」で考えます。 2×2...
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乗法の交換法則その2

乗法の交換法則 すべての自然数 a に対して a × 0 = 0すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + aWikipedia 0×a=a×0 任意のaに0をかけると、...
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乗法の交換法則その1

乗法の交換法則を我流で証明します。その前段階としてa×0=0×aが真である証明。 乗法の交換法則の証明 すべての自然数 a に対して a × 0 = 0すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b...
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奇数が無限にある証明

我流数学やっていきます。今回も数学的帰納法の練習。奇数が無限個あることを証明します。 奇数が無限個ある証明 2n-1+1+1(前提)2n+2-1(加法)2(n+1)-1(分配法則)2k-1(代入)2n-1+1+1→...
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加法と減法の認識

我流減法の次は我流で加法と減法の関係を定義します。 +と-の関係 加法と減法の認識の隙間を我流で埋めてみました。 a+b=c この加法が c-a=b この減法の形と関係していて欲しい。 ...
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自然数の偶数が無限に在ることの証明の雰囲気

数学的帰納法の雰囲気を味わいますり 自然数の乗法すべての自然数 a に対して a × 0 = 0すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + a自然数の加法すべての自然数 a に対して a × 0...
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数学的帰納法の雰囲気

気がついたら数学的帰納法について考えていました。どうしてそこに行き着いたのかは覚えていません。 順序関係から人の認識について思いを巡らせて「原因→結果の認識の規則の延長が順序で…」となったのは覚えてます。 ...
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順序関係の認識そのニ

シコシコと認識について考えます。 今回は順序の認識。自然数は後者関数で定義されています。 後者関数の認識はどんなものか。1→2。1が真なら2も真になる含意。 1.先に1〜2の関係があって、2.それを認識の最小...
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