数学とか コーシー列と収束する数列
調和数列の面白い性質 僕が面白いと思った性質。 $\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{n^{1}}⇒∞$ $\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{n^{2}}⇒\dfrac{π^{2}}{6}$ 指数が1なら発散、...
数学
数学とか 数学とか 調和級数の発散性その二
上の続き。 調和級数の発散の証明 広義の調和級数が発散することを証明します。 準備1 小さなyであっても膨大にn個用意すれば、とてつもなく大きなxであっても上回れる=塵も積もれば山となる。 ny>x(アルキメデスの性質) 調和数列の一般項は...
数学とか 調和級数が発散する証明
調和数列は等差数列の逆数。 調和数列とは、一般項 $h_{n}$ が a を初項とし定数 d を用いて $\displaystyle h_{n}={\frac {1}{a+(n-1)d}}$ と表せる数列 $h_{n}$ のことである。 ウ...
未分類 ベルヌーイの不等式
対数の「その心は？」の記事で利用したベルヌーイの不等式で遊びます。 AIに作ってもらった問題を解きながらベルヌーイの不等式の「その心は」を感じてみます。 任意の整数 r ≥ 0 と全ての実数 x ≥ −1 に対し、次が成立する。 $\dis...
数学とか 等差数列と等差級数
等差級数 等差数列 等差数列の初項を $a_{0}$ とし、その公差を d とすれば、第n 項 an は $\displaystyle a_{n}=a_{0}+nd$ であり、一般に $\displaystyle a_{n}=a_{m}+(...
数学とか aⁿがどこまでも大きくなる証明
$1<a⇒a^{n}<a^{n+1}$ 1より大きなaのべき乗は指数(自然数)を大きくすれば、どこまでも大きくなります。 ほぼ同じ意味ですが、それに上限が無いことを証明します。 ベルヌーイの法則 証明 数学的帰納法を用います。 $r>-1,...
数学とか 対数法則
無理数は何処にいるのかと探索しながら対数の森へ迷い込みました。 対数（たいすう、英: logarithm）とは、ある数 x を数 b の冪乗 bp として表した場合の冪指数 p である。この p は「底を b とする x の対数（英: lo...
数学とか 極限の収束
問題を解きながら極限の収束について学びます。 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \dfrac{1}{n²}=0$ 証明 0<x<y(仮定) 0<x(y-x)(乗法律) 0<xy-x²(分配法則) x²...
数学とか 収束の一意性
収束定義 $(∀ε>0)(∃N∈N)(∀n∈ℕ)$ ウィキペディア 絶対値 基本的な性質として、任意の実数 a, b について 非負性: |a| ≥ 0. 非退化性: a = 0 のとき、且つそのときに限って、|a| = 0. 偶性: |−...
数学とか 指数が分数のべき乗 $a^{\frac{y}{x}}$
指数が分数のべき乗 $a^{\frac{y}{x}}$ これを考えます。 分かりやすいように具体的に。 $2^{\frac{1}{2}}$は $2^{1}$(仮定) $2^{2･2^{⁻¹}}$(乗法逆元) $2^{2･\frac{1}{2...
数学とか 円周率πの導出
黄金数って面白いなあとなると、必然的に円周率にも関心が向きます。円周率には面白い性質はないのだろうかと。 円周率（えんしゅうりつ、英: Pi、独: Kreiszahl、中: 圓周率）とは、円の直径に対する円周の長さの比率のことをいい、数学定...
数学とか 無理数と黄金比
黄金比 黄金比（おうごんひ、英: golden ratio）とは、次の値で表される比のことである： $\displaystyle 1:{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,.$ 黄金比における $\displaystyle...