暇つぶしに見て 稠密性「デデキントカットッッッ！！！」
実数の最大値最小値 A={ℝ∈x|a≤x≤b} maxA=b,minA=a 非負の実数の部分集合の大小関係を集めた順序対の集合をℝ⁺≤とすると ∀x(0,x)∈ℝ⁺≤ 正の実数の任意の元は0以上の関係にあるので、その最小値は minℝ⁻=0...
暇つぶしに見て
暇つぶしに見て 暇つぶしに見て 頭の体操十二
ド・モルガンの法則 ふと、自然演繹て、少しも"自然"じゃないよな、と感じるようになってきました。頭の中で遊ぶ分には面白いのですが。形式的に考え過ぎることがヒトの自然な思考から精神を引き剥がし、無味乾燥で無意味なことをしていると感じる時があり...
暇つぶしに見て 0⁰=1の証明
0の0乗 0⁰=1 であることは、一応は下の記事で証明しましたが、0=0^(0+1)へ変形する過程がないことにきがつきました。 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定め...
暇つぶしに見て 頭の体操十一
マイナスの分配 -(x+y)=(-x)+ (-y) の証明。加法の一意性を用います。 (-x)+(-y),-(x+y)(前提1,2) -(x+y)+(x+y)=0(前提2加法4,3) (-x)+(-y)+(x+y)=0(前提1加法4,3) ...
暇つぶしに見て ヒルベルトの公理に我流解釈を与える
WIISの公理主義的実数論を読み進めていると、再び公理主義とは、との疑問が頭をもたげてきました。それは直観としては、仏教の縁起に似た、認識(≒数学or論理)の規則をより抽象的に捉えようとする試みだと解釈しています。 ウィキペディアの英語版に...
暇つぶしに見て 頭の体操十
循環小数ならば有理数 循環小数（じゅんかんしょうすう、英: recurring decimal、repeating decimal）とは、小数点以下のある桁から先で同じ数字の列が無限に繰り返される小数のことである。繰り返される数字の列を循環...
暇つぶしに見て 頭の体操九
実数乗法の0 二行目と四行目は実数から0(加法単位元)を引いた差集合として演算が定義されています。何故だろうかと。 二行目は、かけると元の数になる乗法単位元の存在の要請です。 0×∀x∈ℝ=0 0は何倍しても0であってほしい。 この要請は0...
暇つぶしに見て 頭の体操八
一意性（いちいせい、英語: uniqueness）とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性...
暇つぶしに見て 頭の体操七
逆元の逆元 -(-x)は逆元の逆元という意味。裏の裏は表、の証明。 公理主義実数論の公理から。 ∀x,∃-x∈ℝ:x+(-x)=0 任意の元xを選ぶとその逆元は必ず存在します。 (-x)+(-(-x))=0(R3) -(-x)+(-x)=0...
暇つぶしに見て 頭の体操六
有理数+無理数=無理数 見出しの証明。 任意の有理数をx、無理数をy、zを有理数、x+y=z、有理数+無理数=有理数、と仮定し、その矛盾を導き背理法により有理数+無理数=無理数を証明します。 x+y=z(前提) y=z-x(移項) 仮定より...
暇つぶしに見て 頭の体操五
有理数は循環小数 見出しの証明。 有理数（ゆうりすう、英: rational number）とは、整数の比（英: ratio）として表すことができる実数のことである。分母・分子ともに整数の分数（分母≠0）として表すことができる実数との説明も...
暇つぶしに見て 整数
参考書WIIS 実数や整数の濃度を比較して遊ぼうとすると、どうしてもその定義を知らなきゃならんことがあります。というわけでとりあえず現時点の理解をまとめます。 可算無限 「自然数の濃度と偶数の濃度は同じ」について。自然数とその真部分集合であ...