アルキメデスの性質と全順序

暇つぶしに見て

2025.07.03

加法律引用WIIS

乗法律引用WIIS

全順序集合引用WIIS

任意の実数x,yには必ず順序関係が定義されている。
x≦y∨y≦x(完備律)

また、加法は≦関係を保存する。
0<x<y,0<z⇒x+z<y+z(加法律)
すなわち、任意の大きな実数より大きな実数は常に創れる(実数は無限大に頭を押さえつけることはない)。

また、
0<x<y,0<z(仮定)
(y-x)z(仮定2)
yz-xz(分配法則)
0<yz-xz(乗法律)
0<xz<yz(加法律)
0<x<y,0<z→xz<yz(→導入)①
0<なら、実数乗法においても<関係は保存される

0<1<x→0<x⁻¹<1(①)
実数乗法逆元においても<の保存則は成り立つ。

①より、
0<1<x<y⇒0<y⁻¹<x⁻¹<1
実数を大きくするほど、その逆元は0を近似する。

アルキメデスの性質の要請(定理？)である、「実数の体系の中に無限小や無限大は存在しないこと」は公理から演繹できます。

アルキメデスの性質にはもっと深みがあるとは思いますが、飽きたので次へ進めます。とりあえず実数の公理が包含している性質とだけ認識しておきます。