積の大小関係

乗法の大小関係の性質。
既に導いたx<y⇒0<y-x=y+(-x)①の加法の性質を用います。

0<x≤y≤z(仮定)
0≤x(z-y)(乗法律と①)
0≤xz-xy(分配法則)
xy≤xz-xy+xy(加法律)
xy≤xz(単位元)
0≤x≤y≤z⇒xy≤xz(含意)

正の数同士の乗法が大小関係を保存する法則。

0<x⇒0<x⁻¹

正数の逆元は正数の証明。

0<x∧x⁻¹<0と仮定して矛盾を導きます。
プラス×マイナス=マイナスの定理①を用います。

0<x(仮定1)
x⁻¹<0(仮定2)
x･x⁻¹=1(乗法逆元)
⊥(①)
0<x⁻¹(背理法)

①の性質とx･x⁻¹=1は矛盾します。

0<x⇒0<x⁻¹※1

仮定1を否定した場合は
x⁻¹<0⇒x<0
となります。すなわち負数の逆元は負数。

x-1=1/x
と定義するなら、
「分数は分母をどれだけ大きくしても0で頭を押さえられてマイナスへは行けまやい」
となります。

0を近似するが、0にはならない。よって0の向こう側へは分数は到達できない。

先に証明した定理※1を用います。

0<x∧0<y(仮定)
(0<x⁻¹∧0<y⁻¹(※1)
0<x∧0<y⇒0<x⁻¹･y⁻¹(乗法律)

0<x,yを満たす任意の実数の乗法逆元の積は正数。

これも感覚的には自明な性質ですが。

任意の正数はマイナスをつけると0との大小関係が逆転するので負数の逆元の積は負数。

0<x,y(仮定1)
x<y(仮定2)
x･y⁻¹<y･y⁻¹(乗法律)
x･y⁻¹<1(乗法逆元)
x･x⁻¹･y⁻¹<1･x⁻¹(乗法律)
1･y⁻¹<⁻x⁻¹(乗法逆元)
y⁻¹<x⁻¹(乗法単位元)
x<y⇒y⁻¹<x⁻¹(含意)

任意の実数の逆元を取ると大小関係が反転します。

分数の大小関係の性質。

負数の場合。
-10<-2⇒-1/2<-1/10
大丈夫そう。