続き。

ラジアン

ラジアンと円周

動径と始線の位置関係がラジアン。
つまり、弧の長さlと半径rの比がラジアン。

$rad=\dfrac{l}{r}$(ラジアン定義)
lに円周、rに直径を代入すると
$π=\dfrac{l}{2r}$(円周率定義)
$2πr=l$(乗法逆元)
円周を半径で割ると2πr。

すなわち
$360°=2πr$
$180°=πr$
$90°=\dfrac{πr}{2}$
$45°=\dfrac{πr}{4}$

円周の公式によれば、半径を伸ばせば比例して円周も伸びる。
つまり、半径を固定すれば円周も固定できる。

半径を1に固定した時の弧の長さは
$\dfrac{l}{1}$
つまり、単位円(=半径1)の時の弧の長さは、radとの対応関係が常に作れられる全射。定義域が0≦Θ<2πならラジアンと単位円の円周は全単射。同値。
$0≦Θ<2π⇒rad=\dfrac{l}{1}=l$

これが円周とrad(角度)の関係。

角度を度数法ではなく弧度法で表す理由は以下。

弧度法
半径が決まると自動的に直径が決まる円の性質を利用。円を構成した時に必然的に現れる要素で「角度」が定義されている。論理的に自然な関係(≒視点)から円を考えられる。思考の行程が少ない。

度数法
円周の360分割。具体的だが恣意的な定義。10進数だと約数が多くて使いやすい。円を度数へ変換する行程が必要。無駄な行程を挟んで間接的に考えるから思考が複雑化する。直観的に円を理解しづらい。

ラジアンが有用な例)
単位円の中心を原点Oとしてxy座標上の単位円を考えた場合は三角関数より
$cosΘ=\dfrac{x}{1}=x$
sinΘ=\dfrac{y}1}=y
という表現が可能。
微分はこの文脈を強める。

(\text{角の大きさ } \theta) = \frac{\text{弧の長さ } l}{\text{半径 } r}

\theta [\mathrm{rad}] = \frac{l}{1} = l

\theta [\mathrm{rad}] = \frac{l}{1} = l

$\text{rad}$ （ラジアン）は実数全体 ( $\mathbb{R}$ ) を値域とし、弧の長さ（ $l=\theta$ ）も実数全体（正負と0）をとれるため。

$\text{rad}$ は周期性を持つため、一つの弧の長さ（動径の位置）に対して、複数の $\text{rad}$ （角度）が存在するから。

\theta \in [0, 2\pi) \quad \text{または} \quad \theta \in (-\pi, \pi]

この制限された範囲においては、「弧の長さ $\Leftrightarrow$ ラジアン」という対応は一対一となり、全単射が成立します。

$\sin x$ の微分が $\cos x$ になるのは、ラジアンの定義によって極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ が $1$ になることが保証されるためです。

三角関数の微分では、角度 $x$ は必ずラジアン ( $\mathrm{rad}$ ) で表されている必要があります。

関数 f(x)導関数 f′(x) $\sin x$ $\mathbf{\cos x}$ $\cos x$ $\mathbf{-\sin x}$ $\tan x$ $\mathbf{\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x}$

$180°=πrad$(前提)
$1°=\dfrac{πr}{180}rad$(乗法逆元)
$\dfrac{180}{2πr}=1rad$(乗法逆元)

例題1)
250°(前提)
$1°=\dfrac{π}{180}rad$(角度変換式)
$250°=\dfrac{250π}{180}rad$(乗法性質)※
$250°=\dfrac{25π}{18}rad$(乗法逆元)

例題2)
10°(前提)
$10°=\dfrac{10π}{180}rad$(変換式)
$10°=\dfrac{1π}{18}rad$(乗法逆元)

※補足
a=b(仮定)
0=(a-b)c(0の乗法)
0=ac-bc(分配法則)
ab=ac(加法逆元)

$\mathbf{\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x}$