有理数の間には常に無理数がある

有理数+無理数=無理数①
a<n⇒a/n>a/n+1>a/n+2…>0②
ある無理数aを大きな有理数nで割るとその値は無理数であり、かつ0へ近づく

任意のx<yにおいて、xに小さな無理数aを足すとその値は常に無理数へ送られる。
かつ
x<x+a<y
上の関係が常に保たれるように限りなく小さな無理数を作れる。
限りなく小さな有理数0.00…x<0.00…yであっても、小さな無理数を②の論理で創ることでx<a<yを保てる。

従って、任意の二つの有理数の間には必ず無理数がある。

無理数は無限個ある

xを有理数とすると
√2+x
は無理数。
xが取りうる可能性は無限通り。従って無理数は無限個作れる。

以上を敷衍すると、有理数をデデキント切断する場合の可能性は
x<a<y
無理点aで切断する場合
x∈A≤a<y
有理点でありAの最大値で切断する場合
x<a≤y∈B
有理点でありBの最小値で切断する場合。

有理数はどの区間でも切断できるので、
x<a<y
のaがy側でもx側でも
x+y/2
と分割してaを挟み込めばxとyの幅を縮めていけます。

だけど有理数は無理数にはなりません。

今のところは無理数は捉えどころがなくて気持ちが悪い。