わり算　その二

任意の実数に対して0以外の逆元の乗法を除法と定める。 x･y⁻¹=z が除法。yの逆元をかけること。 x･1=z･y yかけると逆元は消えて乗法単位元(何もしない要素)が現れる関係。乗法においてyを相殺するのがy⁻¹。 また上の式は x÷y...

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2025.02.24

逆元

x/yの逆元は乗法一意性により
(x/y)･(x/y)⁻¹=1(乗法逆元)
(x･1/y)･(y･1/x)=1(除法定義)
(x/y)⁻¹=(y･1/x)=y/x(乗法一意性&除法定義)

x/yの逆元
(x/y)⁻¹=y/x
です。

乗法逆元の逆元は元元々の元の性質とも一致します。
((x/y)⁻¹)⁻¹=(y/x)⁻¹=x/y

(x⁻¹/y⁻¹)⁻¹(仮定)
y⁻¹/x⁻¹(逆元)
y⁻¹･(1/x)⁻¹(除法定義)
y⁻¹･x(逆元の逆元)
x･y⁻¹(交換法則)
x/y(除法定義)

約分

(x･y)/(x･z)(仮定)
(x･y)･(x･z)⁻¹(除法定義)
(x･y)･(x⁻¹･z⁻¹)(逆元分配法則)
(x･x⁻¹)･(y･z⁻¹)(交換法則と結合法則性)
1･(y･z⁻¹)(逆元)
y･z⁻¹(単位元)
y/z(除法定義)

0の乗法分配法則

単位元と逆元の乗法は定義されていません。

上記以外の0との乗法と除法を考えます。

x(y+z)=xy+xz
分配法則を用いて。

x･0(仮定)
x(0+0)(加法単位元)
0x+0x①(分配法則)

x･0(仮定)
0x+0(加法単位元)

x･0=0x+0=0x+0x(同値)
0x=0(加法一意性)

0と任意の実数との乗法(除法)が0となることが証明されました。

0⁻¹をかけるとどうなるのか。それは次。