マイナスの分配

-(x+y)=(-x)+ (-y)
の証明。加法の一意性を用います。

(-x)+(-y),-(x+y)(前提1,2)
-(x+y)+(x+y)=0(前提2加法4,3)
(-x)+(-y)+(x+y)=0(前提1加法4,3)
x+(-x)+y+(-y)=0(加法4)
0=0(加法2)
-(x+y)=(-x)+(-y)(加法一意性)

-((-x)+(-y))(前提)
-(-(x+y))(マイナス分配)
x+y(加法3)
-((-x)+(-y))=x+y(推移律)

（）にも加法逆元の逆元の法則が成り立ちます。

-(x+y+z)(前提)
-(x+y)+(-y)(マイナス分配)
(-x)+(-y)+(-z)(マイナス分配)
-(x+y+z)=(-x)+(-y)+(-z)

（）内にあるならマイナスを分配可能。

頭の体操七

逆元の逆元 -(-x)は逆元の逆元という意味。裏の裏は表、の証明。公理主義実数論の公理から。 ∀x,∃-x∈ℝ:x+(-x)=0 任意の元xを選ぶとその逆元は必ず存在します。 (-x)+(-(-x))=0(R3) -(-x)+(-x)=0...

頭の体操八

一意性（いちいせい、英語: uniqueness）とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性...

頭の体操九

実数乗法の0 二行目と四行目は実数から0(加法単位元)を引いた差集合として演算が定義されています。何故だろうかと。二行目は、かけると元の数になる乗法単位元の存在の要請です。 0×∀x∈ℝ=0 0は何倍しても0であってほしい。この要請は0...

完備律と反射律

反射的 (reflexive)
X の各元 x について x R x が満たされる関係 R は反射的であるという。

完全性 (total)
X の任意の二元 x, y について、x R y または y R x の一方あるいは両方が必ず満足されるとき、R は完全であるという。

ウィキペディア

完全性(=完備律)は比較可能な要素の間にある関係。

任意の異なる実数x,yにおいて
x≤y∨y≤x
の要請と捉えられます。

同一の要素であるxにおいては、完備律が成り立つことは
(x≤x)∨(x≤x)
(x≤x)(∨除去)
(x=x)(反射律)
反射律が成り立つと変形できます。

完備律な成り立たない場合
¬(x≤y∨y≤x)
x>y∧y>x
⊥

<と>の逆関係が成り立つと仮定しています、

反射律：P の任意の元 a に対し、a ≤ a が成り立つ。
推移律：P の任意の元 a, b, c に対し、a ≤ b かつ b ≤ c ならば a ≤ c が成り立つ。
反対称律：P の任意の元 a, b に対し、a ≤ b かつ b ≤ a ならば a = b が成り立つ。
全順序律：P の任意の元 a, b に対し、a ≤ b または b ≤ a が成り立つ。
また、「≤」が全順序律を満たさない場合（すなわちa ≤ bでもb ≤ aないとき、 a と b は比較不能 (incomparable) であると言う。

また、「≤」が全順序律を満たさない場合（すなわちa ≤ bでもb ≤ aないとき、 a と b は比較不能 (incomparable) であると言う。

ウィキペディア