乗法の交換法則その1

乗法の交換法則を我流で証明します。
その前段階としてa×0=0×aが真である証明。

乗法の交換法則の証明

すべての自然数 a に対して a × 0 = 0
すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + a

Wikipedia

a=0の場合。

0×0(前提)
0(乗法定義)
証明①

a=1の場合。

0×1(前提)
(0×0)+0(乗法定義)
0+0(①より)
0(加法定義)
証明②

0×2(前提)
(0×1)+0(乗法定義)
0+0+0(②より)
0(加法定義)

ここまでで次の式が成り立つ推論が立てられます。

0×a=0→0×s(a)=0

前件が成立すると仮定して予想を証明します。

0×a=0(前提)
0×s(a)(仮定)
(0×a)+0(乗法定義)
0+0(前提より)
0(加法定義)

0×a=0が成り立つなら、0×s(a)=0が成り立つとする

0×a=0→0×s(a)=0

の命題は真となりましたので、もしa=0で成立することが証明できた場合、連鎖的に0以降の自然数においても0×a=0が成り立ちます(数学的帰納法)。

a=0の証明は冒頭で完了しています。

a×0=0×a=0
が任意のaで成り立つことが証明できました。