未分類 ベルヌーイの不等式
対数の「その心は？」の記事で利用したベルヌーイの不等式で遊びます。AIに作ってもらった問題を解きながらベルヌーイの不等式の「その心は」を感じてみます。任意の整数 r ≥ 0 と全ての実数 x ≥ −1 に対し、次が成立する。$\displa...
大小関係
未分類 数学とか 有理数の大小関係
加法の大小関係デデキント切断の準備をします。感覚的には「任意の正数xに任意の正数y足した値はxより大きくなる」は自加法律を見れば自明です。ただ、年の為に確認します。0<1,x(仮定)0+x<1+x(加法律)x<1+x(単位元)0<1,x⇒x...
数学とか 加法律から導かれる性質
実数の加法律からどんな性質が導けるのかを考えます。加法律は演算の後で順序の性質が保たれることの要請。0≤x⇒-x≤00≤x(仮定)(-x)+0≤(-x)+x(加法律)-x≤0(単位元と逆元)0≤x⇒-x≤0(含意)xが0以上ならば-xは0以...
数学とか 大小関係 その二
大小関係大小関係の定義。広義大小関係ここで P は集合であり、「≤」を P 上で定義された二項関係とする。反射律：P の任意の元 a に対し、a ≤ a が成り立つ。推移律：P の任意の元 a, b, c に対し、a ≤ b かつ b ≤ ...
数学とか 狭義大小関係の三分律
引用WIIS定義10反射律、11反対称律、12推移律、13完備律を備えののが大小関係。狭義大小関係は、上に加えて同値関係が成り立たないもの。x<y⇔x≤y∧x≠y定理x<y⇒¬(y<x)の証明。感覚的には自明なんだけど一応。x<y⇒y<xと...
数学とか 稠密性「デデキントカットッッッ！！！」
実数の最大値最小値A={ℝ∈x|a≤x≤b}maxA=b,minA=a非負の実数の部分集合の大小関係を集めた順序対の集合をℝ⁺≤とすると∀x(0,x)∈ℝ⁺≤正の実数の任意の元は0以上の関係にあるので、その最小値はminℝ⁻=0負の実数はx...
数学とか 集合の濃度
参考書。勝手に解釈するとA〜Bは対応関係。一対一関係。集合A,Bの濃度a,bの定義。A〜B₁,B₁⊆Bという規則(関係)が当てはめられる何らかの対象A,Bは、「濃度」で説明できる。上で定義した関係は|A|≤|B|と別の記号へ変換可能。濃度の...
数学とか 順序集合の定義の気持ち
大小関係について考えていたら、=と>から受ける印象って異なるよなあ、となったので、その理由を考えました。=で結ばれる関係は組み合わせ方次第ですが、一対一対応の写像だと言えます。【写像】集合 A の各元に対してそれぞれ集合 B の元をただひと...
数学とか 順序の認識
自分で定義した関数を使って、∃∀の認識について遊びながらま学びます。順序の認識大小関係の演繹5>1を証明します。簡易版だとこんな感じ1.∃x(5=x+1)(仮定)2.5=4+1(∃除去)3.5=5(加法定義)4.∃x(5=x+1)(∃導入)...
数学とか 大小関係を我流で定義
前回、大小関係の>を演繹してよい規則を勝手に作りましたので、その規則を一般化できるか試してみます。我流大小関係復習記号⊢\vdash は、ターンスタイル（turnstile、回転扉）あるいはティー (tee) と呼ばれ、意味的には「生成する...