暇つぶしに見て 大小関係 その二
大小関係 大小関係の定義。 広義大小関係 ここで P は集合であり、「≤」を P 上で定義された二項関係とする。 反射律：P の任意の元 a に対し、a ≤ a が成り立つ。 推移律：P の任意の元 a, b, c に対し、a ≤ b かつ...
大小関係
暇つぶしに見て 暇つぶしに見て 狭義大小関係
引用WIIS 定義 10反射律、11反対称律、12推移律、13完備律を備えののが大小関係。 狭義大小関係は、上に加えて同値関係が成り立たないもの。 x<y⇔x≤y∧x≠y 定理 x<y⇒¬(y<x) の証明。 感覚的には自明なんだけど一応。...
暇つぶしに見て 稠密性「デデキントカットッッッ！！！」
実数の最大値最小値 A={ℝ∈x|a≤x≤b} maxA=b,minA=a 非負の実数の部分集合の大小関係を集めた順序対の集合をℝ⁺≤とすると ∀x(0,x)∈ℝ⁺≤ 正の実数の任意の元は0以上の関係にあるので、その最小値は minℝ⁻=0...
暇つぶしに見て 集合の濃度
参考書。 勝手に解釈すると A〜B は対応関係。一対一関係。 集合A,Bの濃度a,bの定義。 A〜B₁,B₁⊆B という規則(関係)が当てはめられる何らかの対象A,Bは、「濃度」で説明できる。 上で定義した関係は |A|≤|B| と別の記号...
暇つぶしに見て 順序集合の定義の気持ち
大小関係について考えていたら、=と>から受ける印象って異なるよなあ、となったので、その理由を考えました。 =で結ばれる関係は組み合わせ方次第ですが、一対一対応の写像だと言えます。 【写像】集合 A の各元に対してそれぞれ集合 B の元をただ...
暇つぶしに見て 順序の認識
自分で定義した関数を使って、∃∀の認識について遊びながらま学びます。 順序の認識 大小関係の演繹 5>1を証明します。簡易版だとこんな感じ 1.∃x(5=x+1)(仮定)2.5=4+1(∃除去)3.5=5(加法定義)4.∃x(5=x+1)(...
暇つぶしに見て 大小関係を我流で定義
前回、大小関係の>を演繹してよい規則を勝手に作りましたので、その規則を一般化できるか試してみます。 我流大小関係 復習 記号⊢\vdash は、ターンスタイル（turnstile、回転扉）あるいはティー (tee) と呼ばれ、意味的には「生...