数学とか 調和級数の発散性その二
上の続き。 調和級数の発散の証明 広義の調和級数が発散することを証明します。 準備1 小さなyであっても膨大にn個用意すれば、とてつもなく大きなxであっても上回れる=塵も積もれば山となる。 ny>x(アルキメデスの性質) 調和数列の一般項は...
アルキメデスの性質
数学とか 数学とか aⁿがどこまでも大きくなる証明
$1<a⇒a^{n}<a^{n+1}$ 1より大きなaのべき乗は指数(自然数)を大きくすれば、どこまでも大きくなります。 ほぼ同じ意味ですが、それに上限が無いことを証明します。 ベルヌーイの法則 証明 数学的帰納法を用います。 $r>-1,...
数学とか 極限の収束
問題を解きながら極限の収束について学びます。 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \dfrac{1}{n²}=0$ 証明 0<x<y(仮定) 0<x(y-x)(乗法律) 0<xy-x²(分配法則) x²...
数学とか アルキメデスの性質と全順序
任意の実数x,yには必ず順序関係が定義されている。 x≦y∨y≦x(完備律) また、加法は≦関係を保存する。 0<x<y,0<z⇒x+z<y+z(加法律) すなわち、任意の大きな実数より大きな実数は常に創れる(実数は無限大に頭を押さえつける...
数学とか アルキメデスの性質その四
順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x⏟n<y. ウィキペ...
数学とか アルキメデスの性質その三
順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x⏟n<y. ウィキペ...
数学とか アルキメデスの性質 その二
数の大きさ ∀y,∀x∈ℝ,∀n∈ℕy<nx 自然数は帰納的集合なので上に有界ではない、かつ実数は加法律によりどこまでも大きくできます。 ∀x,y>0,∃n∈ℕ:y<nx 自然数に上界がないこと、実数に下界(無限小)と上界(無限大)がないこ...
数学とか アルキメデスの性質
アルキメデスの性質 順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x...