数学とか 調和級数の発散性その二
上の続き。調和級数の発散の証明広義の調和級数が発散することを証明します。準備1小さなyであっても膨大にn個用意すれば、とてつもなく大きなxであっても上回れる=塵も積もれば山となる。ny>x(アルキメデスの性質)調和数列の一般項は$a_n=\...
アルキメデスの性質
数学とか 数学とか aⁿがどこまでも大きくなる(ベルヌーイの法則)証明
$1<a⇒a^{n}<a^{n+1}$1より大きなaのべき乗は指数(自然数)を大きくすれば、どこまでも大きくなります。ほぼ同じ意味ですが、それに上限が無いことを証明します。ベルヌーイの法則証明$n≧0⇒(1+x)^{n}≧1+nx$$n=0...
数学とか 極限の収束
問題を解きながら極限の収束について学びます。$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \dfrac{1}{n²}=0$証明0<x<y(仮定)0<x(y-x)(乗法律)0<xy-x²(分配法則)x²<xy(加法...
数学とか アルキメデスの性質と全順序
任意の実数x,yには必ず順序関係が定義されている。x≦y∨y≦x(完備律)また、加法は≦関係を保存する。0<x<y,0<z⇒x+z<y+z(加法律)すなわち、任意の大きな実数より大きな実数は常に創れる(実数は無限大に頭を押さえつけることはな...
数学とか アルキメデスの性質その四
順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x⏟n<y.ウィキペデ...
数学とか アルキメデスの性質その三
順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x⏟n<y.ウィキペデ...
数学とか アルキメデスの性質 その二
数の大きさ∀y,∀x∈ℝ,∀n∈ℕy<nx自然数は帰納的集合なので上に有界ではない、かつ実数は加法律によりどこまでも大きくできます。∀x,y>0,∃n∈ℕ:y<nx自然数に上界がないこと、実数に下界(無限小)と上界(無限大)がないことを簡潔...
数学とか アルキメデスの性質
アルキメデスの性質順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x⏟...