数学とか ベルンシュタインの定理 その三
前提前回はイメージを作り込みましたので、今回は記号で展開してみます。前回は下の図のように写像で送り合って集合を構成しました。$\begin{eqnarray} \bigcup_{n=1}^{∞}A_{n}=\bigcup_{n=0}^{∞}...
集合論
数学とか 数学とか ベルンシュタインの定理 その二
イメージで考えるその一証明はGeminiに誤りだと指揮されたました。別のやり方を教えてもらったのでその解釈を共有します。※この解釈が誤りでないことは保証できません記号操作でゴリゴリやれたらいいのですが、難しいので戦略のイメージを作ります。$...
数学とか ベルンシュタインの定理
有限の対応ベルンシュタインの定理この定理は「集合の濃度（元の個数の一般化）」において、不等号の性質が成り立つことを保証する非常に強力なツールです。前提: A から B への単射と、B から A への単射が存在する。結論: A と B は「同...
数学とか $2^{ℕ}$の濃度
対角線論法$2^{ℕ}$を下のように自然数と一対一対応をさせて並べます。仮にこれが成立するなら、$2^{ℕ}$の濃度$ℵ_{0}$になります。$a_{1}:\{\boldsymbol{1},2,3,\cdots\}$$a_{2}:\{1,\...
数学とか 超越数の濃度
超越数の濃度を考えます。無限という概念のイメージと面白さ掴むことが目的なので、ひとまず単純化にしていますので悪しからず。可算無限の濃度可算無限集合はいくつ合わせても可算無限です。証明自然数=可算無限偶数=可算無限奇数=可算無限自然数=奇数+...
数学とか 無理数と自己相似形
自己参照や自己増殖これは僕が不思議、面白いと感じていることを吐き出すだけの記事です。僕の知識、知能が不足して理解できないだけなのを、「不思議に思う」と錯覚しているだけの可能性があります。人類の生産性に一切貢献しない無価値なよもやま話ですので...
数学とか 無理数の濃度
対角線論法ステップ1：すべてリストアップできたと仮定する0以上1未満のすべての実数を、1番目、2番目、3番目…と無限にリスト（表）にできたと仮定します。1番目：$0. \mathbf{a_{11}} a_{12} a_{13} a_{14}...
トレーニング 練習の偶有性
練習の構成方法偶有性「偶有性」は難しいか馴染みのない概念だと思います。偶有性アリストテレスの用語で、endekomenonの訳語。 存在することもしないこともありうるものの在り方をいう。僕の解釈では、偶有性は、ある行為や言葉の論理的な意味の...
数学とか 群
濃度の件で、そう言えば代数的数なるものがあったなと。果たしてその濃度はどれほどか証明しよう、と思い立ったのですが、『そもそも「代数的数」を知らん』と気が付きました。深掘りしたら「群」という概念と遭遇。情報の大部分が捨像されたような定義だと感...
数学とか 頭の体操 その二
A,B,C(仮定)A→A∨(B∨C)(∨導入→導入)B→A∨(B∨C)(∨導入→導入)C→A∨(B∨C)(∨導入→導入)A∨B(仮定)A∨(B∨C)(∨除去)A∨B→A∨(B∨C)(→導入)(A∨B)∨C(仮定)A∨(B∨C)(∨除去)(A...
数学とか 集合と自然演繹と認識
上は素朴集合論の∪∩の定義から導かれる分配法則とその証明。以下は論理和と論理積の分配法則の自然演繹。1.(仮定)2.A∨B(∨導入)4.A∨C(∨導入)5.(A∨B)∧(A∨C)(∧導入)6.A→(A∨B)∧(A∨C)(→導入)7.(仮定)...
数学とか 集合と認識と自然演繹
我流集合論人の認識の規則を記号化したものが論理、それを拡張したのが集合、それをさらに拡張したのが関数、という過程の下なら、下記の関係が成り立つはずなので、それを証明します。(A⊂B)⇔(x∈A⇒x∈B)⇔(P(x)⇒Q(x))集合 A の要...