暇つぶしに見て 有理数の大小関係
加法の大小関係 デデキント切断の準備をします。 感覚的には「任意の正数xに任意の正数y足した値はxより大きくなる」は自加法律を見れば自明です。ただ、年の為に確認します。 0<1,x(仮定) 0+x<1+x(加法律) x<1+x(単位元) 0...
実数
暇つぶしに見て 暇つぶしに見て マイナス×プラス=マイナス
マイナス×プラス=マイナス 0≤x,y⇒-x,-y≤0①と0x=0②との定理を用います。 0≤x,y(仮定) 0≤x･y(乗法律) -1･0≥-1･(x･y)(①) (-1)･0≥(-1･x)･y(結合法則) 0≥(-x)･y(②と逆元定義...
暇つぶしに見て 加法律から導かれる性質
実数の加法律からどんな性質が導けるのかを考えます。 加法律は演算の後で順序の性質が保たれることの要請。 0≤x⇒-x≤0 0≤x(仮定) (-x)+0≤(-x)+x(加法律) -x≤0(単位元と逆元) 0≤x⇒-x≤0(含意) xが0以上な...
暇つぶしに見て 任意の数の平方は0以上
x≠0⇒0<x² プラス×プラス=プラスは乗法律はにより定義済み。 マイナス×マイナス=プラスの証明の続き。0以外の平方は0より大きくなる証明。 0より大きいか0の場合は定義されています(乗法律)。 従って0より小さい平方の証明だけをやりま...
暇つぶしに見て マイナス×マイナス=プラス
定義から証明 -a=-1･aと仮定...① -1･-1(仮定) (-1･-1)･1(乗法単位元) -1･-(1)(①) --(1)(①) 1(逆元の逆元と一意性) -1×-1=1(②) 次は任意の実数におけるマイナス×マイナス。 ∀a,b∈...
暇つぶしに見て 割り算 その五
乗法の0元以外で0を作れないのか、と。すなわち、0以外の元同士を作用させてx･y=0の結論を得られないのかと。 背理法を用います。 x≠0∧y≠0⇔x･y=0 x≠0∧y≠0⇒x･y=0(前提) x(仮定) x･1(乗法単位元) x･y･y...
暇つぶしに見て 割り算 その四
公理主義実数論には"0を除いた"実数に乗法単位元と逆元が定義されています。 それは何故か。 この話は以前触れたような気もしますが、割り算について考えるがてら、もう一度その理由について考えてみます。 除法その三で、0の乗法は任意の数に対して0...
暇つぶしに見て 割り算 その三
逆元 x/yの逆元は乗法一意性により (x/y)･(x/y)⁻¹=1(乗法逆元) (x･1/y)･(y･1/x)=1(除法定義) (x/y)⁻¹=(y･1/x)=y/x(乗法一意性&除法定義) x/yの逆元 (x/y)⁻¹=y/x です。 ...
暇つぶしに見て わり算 その二
任意の実数に対して0以外の逆元の乗法を除法と定める。 x･y⁻¹=z が除法。yの逆元をかけること。 x･1=z･y yかけると逆元は消えて乗法単位元(何もしない要素)が現れる関係。乗法においてyを相殺するのがy⁻¹。 また上の式は x÷y...
暇つぶしに見て 割り算
公理主義実数論の立場から除法≒割り算を考えます。 除法 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x, (∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1) ....
暇つぶしに見て 0×a=0
任意の実数xに0をかけると0になる証明。どこがでやったような気がするので重複した記事かも。 ただ、なんとなく頭の中で完結させただけな気もしますので、確認もかねて。 0･a⇔a･0(乗法交換律) 0･a(前提) (0+0)a(加法零元) 0･...
暇つぶしに見て 稠密性「デデキントカットッッッ！！！」
実数の最大値最小値 A={ℝ∈x|a≤x≤b} maxA=b,minA=a 非負の実数の部分集合の大小関係を集めた順序対の集合をℝ⁺≤とすると ∀x(0,x)∈ℝ⁺≤ 正の実数の任意の元は0以上の関係にあるので、その最小値は minℝ⁻=0...