暇つぶしに見て アルキメデスの性質 その二
数の大きさ ∀y,∀x∈ℝ,∀n∈ℕy<nx 自然数は帰納的集合なので上に有界ではない、かつ実数は加法律によりどこまでも大きくできます。 ∀x,y>0,∃n∈ℕ:y<nx 自然数に上界がないこと、実数に下界(無限小)と上界(無限大)がないこ...
公理主義
暇つぶしに見て 暇つぶしに見て アルキメデスの性質
アルキメデスの性質 順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x...
暇つぶしに見て デデキント切断と上限性質
差集合 B から A を引いた差、差集合あるいは B における A の（相対）補集合と呼ぶ。記号を用いて書けば、 x∈B∖A⟺x∈B∧x∉A, ウィキペディア 上界 ∃a∈ℝ,∀∈A:x≤a WIIS 実数の公理は デデキントの公理 上限性...
暇つぶしに見て 無理数はどこにいるの？
√2はどこにいるの 無理数をやっているとたどり着く疑問。 非循環の無限桁少数の位置はどう特定しているの？と。 有理数は一つづつ規則的に変化させられる上に視覚的なグラフとしてそれを再現できるので、垂直線上の位置を感覚的にイメージできます。2は...
暇つぶしに見て 有理数の間には無理数がある
無理数は有理数の間にぎっしりと詰まっているようです。 ホントかよと。 散歩中にその証明を閃きました。 任意の有理数の間には無理数が必ず存在することを証明します。 準備 0<x<y⇒0<y-x=y+(-x)① ①は加法律から導出できる加法の性...
暇つぶしに見て 乗法の自然数の閉性
任意の乗法を自然数へ送る集合が帰納的集合である証明。 A={y∈ℕ,x∈ℝΙx・y∈ℕ}① yを1と仮定すると x･1∈ℕ(乗法単位元) 単位元は任意の自然数を自然数へ送るので、Aは1を含みます。 定義を満たすy=aを選びます。 x ･a∈...
暇つぶしに見て 自然数の加法の閉性
帰納的集合 定義は単純です。 帰納的集合の要請は、1を持ち、かつ1と任意の元の加法が閉じていること。 具体的には実数、正の実数、非負の実数、0を含む自然数、0を含まない自然数、正の整数、正の有理数などですかね。 自然数 公理主義では帰納的集...
暇つぶしに見て 無理数は無限にある
有理数の間には常に無理数がある 有理数+無理数=無理数① a<n⇒a/n>a/n+1>a/n+2...>0② ある無理数aを大きな有理数nで割るとその値は無理数であり、かつ0へ近づく 任意のx<yにおいて、xに小さな無理数aを足すとその値は...
暇つぶしに見て 無理数と有理数の性質
有理数×無理数=無理数 有理数の加法と乗法の閉性より 有理数×有理数=有理数 有理数+有理数=有理数 となります。 有理数×無理数=有理数 だと仮定します。 無理数=有理数/有理数(乗法逆元) 以上は有理数の演算が閉じている要請を満たしてい...
暇つぶしに見て 有理数の大小関係
加法の大小関係 デデキント切断の準備をします。 感覚的には「任意の正数xに任意の正数y足した値はxより大きくなる」は自加法律を見れば自明です。ただ、年の為に確認します。 0<1,x(仮定) 0+x<1+x(加法律) x<1+x(単位元) 0...
暇つぶしに見て 乗法と乗法逆元の性質
積の大小関係 乗法の大小関係の性質。 既に導いたx<y⇒0<y-x=y+(-x)①の加法の性質を用います。 0<x≤y≤z(仮定) 0≤x(z-y)(乗法律と①) 0≤xz-xy(分配法則) xy≤xz-xy+xy(加法律) xy≤xz(単...
暇つぶしに見て マイナス×プラス=マイナス
マイナス×プラス=マイナス 0≤x,y⇒-x,-y≤0①と0x=0②との定理を用います。 -1･-1=1の証明。 -1+1=0(加法逆元) -1+-(-1)=0(加法逆元) -(-1)=1(加法一意性)① -a･-b(仮定) -1･-1･a...