未分類 べき乗の性質 その三
べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n ...
公理主義
未分類 暇つぶしに見て 指数の法則 複利の計算式
複利計算 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n...
暇つぶしに見て 指数の法則
指数の性質 指数の性質を考えます。 (仮定) (乗法律) ⊥ ¬(x<0∧0<y⇒0<x･y)(背理法) 0<x∨y<0⇒x･y<0(ド・モルガンの法則) 0<x∧0<y⇒0<x･y→0<x∨y<0⇒x･y<0(→導入)① 乗法律は「正と負...
暇つぶしに見て 数学的帰納法の雰囲気その三
数学的帰納法 例題)1²+2²+3²+...x²=x(x+1)(2x+1)/6※1 x=1(仮定) (1･2･3)/6=1(代入) 1²=1(代入) 1=1(同値関係) 数学的帰納法の第一段階完了。 次は第二段階。 ※1がx任意のxに成り立...
暇つぶしに見て 数学的帰納法の雰囲気その二
数学的帰納法 無理数って何？→アルキメデスの性質って何？→無限大や無限小って何？→無限はどう対処するの？(今ここ) 「無限大」というのは、「どの実数よりも大きな数」という形で捉えられていると思われるが、特定の数を表しているわけではなく、「い...
暇つぶしに見て x⁰=1
形式的な証明 まずは形式的な証明。 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には...
暇つぶしに見て アルキメデスの性質と全順序
任意の実数x,yには必ず順序関係が定義されている。 x≦y∨y≦x(完備律) また、加法は≦関係を保存する。 0<x<y,0<z⇒x+z<y+z(加法律) すなわち、任意の大きな実数より大きな実数は常に創れる(実数は無限大に頭を押さえつける...
暇つぶしに見て アルキメデスの性質その四
順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x⏟n<y. ウィキペ...
暇つぶしに見て アルキメデスの性質その三
順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x⏟n<y. ウィキペ...
暇つぶしに見て アルキメデスの性質 その二
数の大きさ ∀y,∀x∈ℝ,∀n∈ℕy<nx 自然数は帰納的集合なので上に有界ではない、かつ実数は加法律によりどこまでも大きくできます。 ∀x,y>0,∃n∈ℕ:y<nx 自然数に上界がないこと、実数に下界(無限小)と上界(無限大)がないこ...
暇つぶしに見て アルキメデスの性質
アルキメデスの性質 順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x...
暇つぶしに見て デデキント切断と上限性質
差集合 B から A を引いた差、差集合あるいは B における A の（相対）補集合と呼ぶ。記号を用いて書けば、 x∈B∖A⟺x∈B∧x∉A, ウィキペディア 上界 ∃a∈ℝ,∀∈A:x≤a WIIS 実数の公理は デデキントの公理 上限性...