数学とか $\sqrt{x}$の導関数と微分係数の不連続と関数の不連続
$\sqrt{x}'$微分の定義式から導出$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{\sqrt{a+h} - \sqrt{a}}{h}$(微分)$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \...
数学とか
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数学とか 加法定理 $\tan(α+β)=\dfrac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ}$ その三
加法定理$\tan(α+ β)$(仮定)$\frac{\sin(α＋β)}{\cos(α+β)}$(tan定義)$\frac{\sinα\cosβ+\cosα\sinβ}{\cosα\cosβ+\sinα\sinβ}${加法定理}分母分子に...
数学とか 加法定理の証明 $\cos (α-β)=\sin α \sin β + \cos α \cos β$
加法定理の導出余弦定理余弦定理より、線PQの長さを求めます。$PQ^{2}=OP^{2}+OQ^{2}-2OP\cdot OQ\cos (α-β)$(余弦定理)$=1^{2}+1^{2}-2OP\cdot OQ\cos (α-β)$(単位円...
数学とか 三角関数の極限
三角関数の微分単位円を描いて、上のような包含関係の図形を構成します。面積の大小関係は上記の通り。ラジアンが0に限りなく近いなら、$\sin θ$とラジアンの比が１に限りなく近くなるのは視覚にもなんとなく理解できます。本当にそうなることを証明...
数学とか 自然対数関数の導関数の導出
テイラー展開について調べ行くと指数関数や対数関数は面倒で遠ざけていましたが、微分を勉強していると避けては通れない。「数学を学ぶのなら避けては通れない」が正しいとは思いますが。$\frac{ dy }{ dx }\ln x=\frac{ 1 ...
数学とか ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 その二
有界な実数数列は収束する部分列を持つ見出しの証明。有界数列（ゆうかいすうれつ）とは、数列のすべての項の値が、ある一定の範囲（上限と下限）の中に収まっており、無限大やマイナス無限大に発散しない数列のことです。 上に有界（上界がある）：すべての...
数学とか マクローリン展開の気持ち
テイラーの定理「マクローリン展開の気持ち」を考えます。結論を一言でまとめると「元々の関数を構成している「高さ」や「曲がり具合」などの要素を足していったら、複雑な関数の曲がりを再現できる」もう少し言及すると「『テイラーの定理』が『複雑な曲線の...
数学とか 余弦関数の定義域が実数全体である話
代数的数の濃度の疑問を解決しようと書籍やネット、AIを漂っていたらまた数学の深み（泥沼）にはまりました。何故か三角関数をやっています。ところで、最近は数学の勉強をしていると「行列」「ベクトル」への強力な引力を感じてしまいます。これに引き寄せ...
数学とか 三角不等式の導出
ベクトルの三角不等式絶対値の三角不等式の証明は以前作成した気がしましたが、検索しても出てこないのでやります。幾何学的には下の画像が分かりやすいと思います。ベクトルのノルムの加法です。（退化した場合も含めた）三角形の三辺が x, y, z で...
数学とか 選択公理が要請された理由
非可算な実無限有限の感覚が崩壊する無限の世界観ベルンシュタインの定理を勉強していく過程で「実無限」の面白さや奇妙さついて少しだけ知ることができました。「実数の隙間を無くしたい(微積分を完全にしたい)」という数学者の切実な欲求が、無限を実体化...
数学とか ベルンシュタインの定理 その三
前提前回はイメージを作り込みましたので、今回は記号で展開してみます。前回は下の図のように写像で送り合って集合を構成しました。$\begin{eqnarray} \bigcup_{n=1}^{∞}A_{n}=\bigcup_{n=0}^{∞}...
数学とか ベルンシュタインの定理 その二
イメージで考えるその一証明はGeminiに誤りだと指揮されたました。別のやり方を教えてもらったのでその解釈を共有します。※この解釈が誤りでないことは保証できません記号操作でゴリゴリやれたらいいのですが、難しいので戦略のイメージを作ります。$...