数学とか 三角不等式の導出
ベクトルの三角不等式絶対値の三角不等式の証明は以前作成した気がしましたが、検索しても出てこないのでやります。幾何学的には下の画像が分かりやすいと思います。ベクトルのノルムの加法です。（退化した場合も含めた）三角形の三辺が x, y, z で...
数学とか
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数学とか 選択公理が要請された理由
非可算な実無限有限の感覚が崩壊する無限の世界観ベルンシュタインの定理を勉強していく過程で「実無限」の面白さや奇妙さついて少しだけ知ることができました。「実数の隙間を無くしたい(微積分を完全にしたい)」という数学者の切実な欲求が、無限を実体化...
数学とか ベルンシュタインの定理 その三
前提前回はイメージを作り込みましたので、今回は記号で展開してみます。前回は下の図のように写像で送り合って集合を構成しました。$\begin{eqnarray} \bigcup_{n=1}^{∞}A_{n}=\bigcup_{n=0}^{∞}...
数学とか ベルンシュタインの定理 その二
イメージで考えるその一証明はGeminiに誤りだと指揮されたました。別のやり方を教えてもらったのでその解釈を共有します。※この解釈が誤りでないことは保証できません記号操作でゴリゴリやれたらいいのですが、難しいので戦略のイメージを作ります。$...
数学とか ベルンシュタインの定理
有限の対応ベルンシュタインの定理この定理は「集合の濃度（元の個数の一般化）」において、不等号の性質が成り立つことを保証する非常に強力なツールです。前提: A から B への単射と、B から A への単射が存在する。結論: A と B は「同...
数学とか $2^{ℕ}$の濃度
対角線論法$2^{ℕ}$を下のように自然数と一対一対応をさせて並べます。仮にこれが成立するなら、$2^{ℕ}$の濃度$ℵ_{0}$になります。$a_{1}:\{\boldsymbol{1},2,3,\cdots\}$$a_{2}:\{1,\...
数学とか 超越数の濃度
超越数の濃度を考えます。無限という概念のイメージと面白さ掴むことが目的なので、ひとまず単純化にしていますので悪しからず。可算無限の濃度可算無限集合はいくつ合わせても可算無限です。証明自然数=可算無限偶数=可算無限奇数=可算無限自然数=奇数+...
数学とか 無理数と自己相似形
自己参照や自己増殖これは僕が不思議、面白いと感じていることを吐き出すだけの記事です。僕の知識、知能が不足して理解できないだけなのを、「不思議に思う」と錯覚しているだけの可能性があります。人類の生産性に一切貢献しない無価値なよもやま話ですので...
数学とか 無理数の濃度
対角線論法ステップ1：すべてリストアップできたと仮定する0以上1未満のすべての実数を、1番目、2番目、3番目…と無限にリスト（表）にできたと仮定します。1番目：$0. \mathbf{a_{11}} a_{12} a_{13} a_{14}...
数学とか 有理数と無理数の濃度
加算無限同士の加法参考書の有理数と自然数の濃度が等しいことの証明は、理解はできるんだけど、視覚的に同値の対応関係が示されているだけなのが気持ちが悪いので我流で証明します。可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである。すなわち、集合 S ...
数学とか ネイピア数とマクローリン展開
代数的数と超越数テイラー展開から脱線しまくって今ここ。ネイピア数eは「導関数が自分自身になる」関数。それは、今の自分の存在が未来の自分により生起される奇妙な構成。円周率は直径と円周の比。円周を決める為にはその直径が、直径を決めるにはその円周...
数学とか 二項定理
二項定理総和記号 Σ で一律に表示できる：$\displaystyle (x+y)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=\textstyle ...