数学とか 連分数展開
無理数って何やねんシリーズ。 有理数の連分数展開 連分数で無理数の性質の一端が見られるということなので、その方法を学びます。 準備として計算を練習します。 例題1) $\frac{37}{28}$ 展開 $\frac{37}{28}=1+\...
数学とか
数学とか 数学とか 分数の乗法逆元と連分数展開 $(\frac{x}{y})⁻¹=\frac{y}{x}$
分数の逆元 無理数についてのお勉強。 連分数を用いると無理数の規則性が見いだせるとの情報をを聞きつけました。 その前に連分数の計算規則が公理から導出できるのかの確認。 $(\frac{x}{y})⁻¹$(仮定) (x･(y⁻¹))⁻¹(分数...
数学とか 有理数 演算の閉性
有理数の加法の法則 このでは整数を ℕ∨-ℕ∨0 と定義します。 定義より、ℕ⊂ℤであるので整数の加法は閉じています。 有理数の加法の性質を導きます。 (仮定) z₁/n₁･1+z₂/n₂･1(乗法単位元) (z₁/n₁･n₂･n₂⁻¹)+...
よもやま話 モンティ・ホール問題
モンティ・ホール問題 ＜投稿された相談＞ プレーヤーの前に閉じた3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを...
よもやま話 リンダ問題
一緒に論理的思考能力を鍛えましょう。 リンダは31才、独身、率直な性格で、とても聡明である。大学では哲学を専攻した。学生時代には、差別や社会正義といった問題に深く関心を持ち、反核デモにも参加した。 どちらの可能性がより高いか？ リンダは銀行...
数学とか べき乗の指数法則 $a^{m}≠a^{n}→m≠n$
べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n ...
数学とか べき乗の分配法則 $a^{xy}=(a^{x})^{y}$
べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n ...
数学とか 指数の加法法則 xⁿ･x¹=xⁿ⁺¹
べき乗の性質 べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗...
数学とか べき乗の大小関係 1
べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n ...
べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n ...
数学とか 指数の法則 複利の計算式
複利計算 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n...
数学とか 指数の法則 底を共有する指数の大小関係
指数の性質 指数の性質を考えます。 (仮定) ⊥(正と負の乗法) ¬(x<0∧0<y→0<xy)(背理法) ¬(¬(x<0∧0<y)∨0<x･y)(→言い換え) ¬(0<x∨y<0)→x･y<0(ド・モルガンの法則) x<0∧0<y→x･y...
数学とか 数学的帰納法の雰囲気その三
数学的帰納法 例題)1²+2²+3²+...x²=x(x+1)(2x+1)/6※1 x=1(仮定) (1･2･3)/6=1(代入) 1²=1(代入) 1=1(同値関係) 数学的帰納法の第一段階完了。 次は第二段階。 ※1がx任意のxにn成り...