数学とか 任意の数の平方は0以上
x≠0⇒0<x² プラス×プラス=プラスは乗法律はにより定義済み。 マイナス×マイナス=プラスの証明の続き。0以外の平方は0より大きくなる証明。 0より大きいか0の場合は定義されています(乗法律)。 従って0より小さい平方の証明だけをやりま...
実数
数学とか 数学とか マイナス×マイナス=プラス
定義から証明 1+-1=-0(加法逆元) -1+-(-1)=0(加法逆元) -(-1)=1(加法一意性) 加法逆元の逆元は元の元,-1･-1=-(-1)=1① 次は任意の実数におけるマイナス×マイナス。 ∀a,b∈ℝ(-a･-b)(仮定) ...
数学とか 割り算 その五
乗法の0元以外で0を作れないのか、と。すなわち、0以外の元同士を作用させてx･y=0の結論を得られないのかと。 背理法を用います。 x≠0∧y≠0⇔x･y=0 x≠0∧y≠0⇒x･y=0(前提) x(仮定) x･1(乗法単位元) x･y･y...
数学とか 割り算 その四
公理主義実数論には"0を除いた"実数に乗法単位元と逆元が定義されています。 それは何故か。 この話は以前触れたような気もしますが、割り算について考えるがてら、もう一度その理由について考えてみます。 除法その三で、0の乗法は任意の数に対して0...
数学とか 割り算 その三
逆元 x/yの逆元は乗法一意性により (x/y)･(x/y)⁻¹=1(乗法逆元) (x･1/y)･(y･1/x)=1(除法定義) (x/y)⁻¹=(y･1/x)=y/x(乗法一意性&除法定義) x/yの逆元 (x/y)⁻¹=y/x です。 ...
数学とか わり算 その二
任意の実数に対して0以外の逆元の乗法を除法と定める。 x･y⁻¹=z が除法。yの逆元をかけること。 x･1=z･y yかけると逆元は消えて乗法単位元(何もしない要素)が現れる関係。乗法においてyを相殺するのがy⁻¹。 また上の式は x÷y...
数学とか 割り算
公理主義実数論の立場から除法≒割り算を考えます。 除法 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x, (∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1) ....
数学とか 0×a=0
任意の実数xに0をかけると0になる証明。どこがでやったような気がするので重複した記事かも。 ただ、なんとなく頭の中で完結させただけな気もしますので、確認もかねて。 0･a⇔a･0(乗法交換律) 0･a(前提) (0+0)a(加法零元) 0･...
数学とか 稠密性「デデキントカットッッッ！！！」
実数の最大値最小値 A={ℝ∈x|a≤x≤b} maxA=b,minA=a 非負の実数の部分集合の大小関係を集めた順序対の集合をℝ⁺≤とすると ∀x(0,x)∈ℝ⁺≤ 正の実数の任意の元は0以上の関係にあるので、その最小値は minℝ⁻=0...
数学とか 0⁰=1の証明
0の0乗 0⁰=1 であることは、一応は下の記事で証明しましたが、0=0^(0+1)へ変形する過程がないことにきがつきました。 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定め...
数学とか ヒルベルトの公理に我流解釈を与える
WIISの公理主義的実数論を読み進めていると、再び公理主義とは、との疑問が頭をもたげてきました。それは直観としては、仏教の縁起に似た、認識(≒数学or論理)の規則をより抽象的に捉えようとする試みだと解釈しています。 ウィキペディアの英語版に...
数学とか 頭の体操八
一意性（いちいせい、英語: uniqueness）とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性...