数学とか 分数の乗法逆元と連分数展開 $(\frac{x}{y})⁻¹=\frac{y}{x}$
分数の逆元無理数についてのお勉強。連分数を用いると無理数の規則性が見いだせるとの情報をを聞きつけました。その前に連分数の計算規則が公理から導出できるのかの確認。$(\frac{x}{y})⁻¹$(仮定)(x･(y⁻¹))⁻¹(分数定義)x⁻...
実数
数学とか 数学とか 有理数 演算の閉性
有理数の加法の法則このでは整数をℕ∨-ℕ∨0と定義します。定義より、ℕ⊂ℤであるので整数の加法は閉じています。有理数の加法の性質を導きます。(仮定)z₁/n₁･1+z₂/n₂･1(乗法単位元)(z₁/n₁･n₂･n₂⁻¹)+(z₂/n₂･n...
数学とか べき乗の指数法則 $a^{m}≠a^{n}→m≠n$
べき乗実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。(∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n = 0...
数学とか 指数の加法法則 xⁿ･x¹=xⁿ⁺¹
べき乗の性質べき乗実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。(∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0を定義する場合には、関係式 (∗∗) が...
数学とか アルキメデスの性質その四
順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x⏟n<y.ウィキペデ...
数学とか アルキメデスの性質
アルキメデスの性質順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x⏟...
数学とか デデキント切断と上限性質
差集合B から A を引いた差、差集合あるいは B における A の（相対）補集合と呼ぶ。記号を用いて書けば、x∈B∖A⟺x∈B∧x∉A,ウィキペディア上界∃a∈ℝ,∀∈A:x≤aWIIS実数の公理はデデキントの公理上限性質を持つ有界単調数...
数学とか 自然数の加法の閉性
帰納的集合定義は単純です。帰納的集合の要請は、1を持ち、かつ1と任意の元の加法が閉じていること。具体的には実数、正の実数、非負の実数、0を含む自然数、0を含まない自然数、正の整数、正の有理数などですかね。自然数公理主義では帰納的集合の共通部...
数学とか 無理数は無限にある
有理数の間には常に無理数がある有理数+無理数=無理数①a<n⇒a/n>a/n+1>a/n+2...>0②ある無理数aを大きな有理数nで割るとその値は無理数であり、かつ0へ近づく任意のx<yにおいて、xに小さな無理数aを足すとその値は常に無理...
数学とか 有理数の大小関係
加法の大小関係デデキント切断の準備をします。感覚的には「任意の正数xに任意の正数y足した値はxより大きくなる」は自加法律を見れば自明です。ただ、年の為に確認します。0<1,x(仮定)0+x<1+x(加法律)x<1+x(単位元)0<1,x⇒x...
数学とか マイナス×プラス=マイナス
マイナス×プラス=マイナス0≤x,y⇒-x,-y≤0①と0x=0②との定理を用います。-1･-1=1の証明。-1+1=0(加法逆元)-1+-(-1)=0(加法逆元)-(-1)=1(加法一意性)①-1･a=-a(仮定)-a･-b(仮定2)-1...
数学とか 加法律から導かれる性質
実数の加法律からどんな性質が導けるのかを考えます。加法律は演算の後で順序の性質が保たれることの要請。0≤x⇒-x≤00≤x(仮定)(-x)+0≤(-x)+x(加法律)-x≤0(単位元と逆元)0≤x⇒-x≤0(含意)xが0以上ならば-xは0以...