数学とか マイナス×マイナス=プラス
定義から証明1+-1=0(加法逆元)-1+-(-1)=0(加法逆元)-(-1)=1(加法一意性)加法逆元の逆元は元の元,-1･-1=-(-1)=1①次は任意の実数におけるマイナス×マイナス。∀a,b∈ℝ(-a･-b)(仮定)-1･-1･a･...
公理主義
数学とか 数学とか 大小関係 その二
大小関係大小関係の定義。広義大小関係ここで P は集合であり、「≤」を P 上で定義された二項関係とする。反射律：P の任意の元 a に対し、a ≤ a が成り立つ。推移律：P の任意の元 a, b, c に対し、a ≤ b かつ b ≤ ...
数学とか 狭義大小関係の三分律
引用WIIS定義10反射律、11反対称律、12推移律、13完備律を備えののが大小関係。狭義大小関係は、上に加えて同値関係が成り立たないもの。x<y⇔x≤y∧x≠y定理x<y⇒¬(y<x)の証明。感覚的には自明なんだけど一応。x<y⇒y<xと...
数学とか 割り算 その五
乗法の0元以外で0を作れないのか、と。すなわち、0以外の元同士を作用させてx･y=0の結論を得られないのかと。背理法を用います。x≠0∧y≠0⇔x･y=0x≠0∧y≠0⇒x･y=0(前提)x(仮定)x･1(乗法単位元)x･y･y⁻¹(乗法逆...
数学とか 割り算 その四
公理主義実数論には"0を除いた"実数に乗法単位元と逆元が定義されています。それは何故か。この話は以前触れたような気もしますが、割り算について考えるがてら、もう一度その理由について考えてみます。除法その三で、0の乗法は任意の数に対して0となる...
数学とか 割り算 その三
逆元x/yの逆元は乗法一意性により(x/y)･(x/y)⁻¹=1(乗法逆元)(x･1/y)･(y･1/x)=1(除法定義)(x/y)⁻¹=(y･1/x)=y/x(乗法一意性&除法定義)x/yの逆元(x/y)⁻¹=y/xです。乗法逆元の逆元は...
数学とか わり算 その二
任意の実数に対して0以外の逆元の乗法を除法と定める。x･y⁻¹=zが除法。yの逆元をかけること。x･1=z･yyかけると逆元は消えて乗法単位元(何もしない要素)が現れる関係。乗法においてyを相殺するのがy⁻¹。また上の式はx÷y,x･1/y...
数学とか (準)同型写像と群の性質
群演算の一意性X:群X∈x,x⁻¹,yx･x⁻¹=x･yx⁻¹･x･x⁻¹=x⁻¹･x･ye･x⁻¹=e･yx⁻¹=yxの逆元と異なる要素yを群から取ってきてxに作用させた場合に結果が同じ。群の同型写像の集合Mを定義。その中から要素を取り出...
数学とか 割り算
公理主義実数論の立場から除法≒割り算を考えます。除法実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。(∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定...
よもやま話 「群」って何がしたいねん
公理主義実数論集合 G とその上の二項演算 μ: G × G → G の組 (G, μ) が群であるとは、以下の3つの条件を満たすことをいう：（結合法則）任意の G の元 g, h, k に対して、μ(g, μ(h, k)) = μ(μ(g...
数学とか 0×a=0
任意の実数xに0をかけると0になる証明。どこがでやったような気がするので重複した記事かも。ただ、なんとなく頭の中で完結させただけな気もしますので、確認もかねて。0･a⇔a･0(乗法交換律)0･a(前提)(0+0)a(加法零元)0･a+0･a...
数学とか 稠密性「デデキントカットッッッ！！！」
実数の最大値最小値A={ℝ∈x|a≤x≤b}maxA=b,minA=a非負の実数の部分集合の大小関係を集めた順序対の集合をℝ⁺≤とすると∀x(0,x)∈ℝ⁺≤正の実数の任意の元は0以上の関係にあるので、その最小値はminℝ⁻=0負の実数はx...