数学とか デデキント切断と上限性質
差集合B から A を引いた差、差集合あるいは B における A の（相対）補集合と呼ぶ。記号を用いて書けば、x∈B∖A⟺x∈B∧x∉A,ウィキペディア上界∃a∈ℝ,∀∈A:x≤aWIIS実数の公理はデデキントの公理上限性質を持つ有界単調数...
公理主義
数学とか 数学とか 無理数はどこにいるの？
√2はどこにいるの無理数をやっているとたどり着く疑問。非循環な無限桁少数の位置はどう特定しているの？と。有理数は一つづつ規則的に変化させられる上に視覚的なグラフとしてそれを再現できるので、数直線上の位置を感覚的にイメージできます。2は1の次...
数学とか 有理数の間には無理数がある
無理数は有理数の間にぎっしりと詰まっているようです。ホントかよと。散歩中にその証明を閃きました。任意の有理数の間には無理数が必ず存在することを証明します。準備0<x<y⇒0<y-x=y+(-x)①①は加法律から導出できる加法の性質。乗法逆元...
数学とか 乗法の自然数の閉性
任意の乗法を自然数へ送る集合が帰納的集合である証明。A={y∈ℕ,x∈ℝΙx・y∈ℕ}①yを1と仮定するとx･1∈ℕ(乗法単位元)単位元は任意の自然数を自然数へ送るので、Aは1を含みます。定義を満たすy=aを選びます。x ･a∈ℕ(①)また...
数学とか 自然数の加法の閉性
帰納的集合定義は単純です。帰納的集合の要請は、1を持ち、かつ1と任意の元の加法が閉じていること。具体的には実数、正の実数、非負の実数、0を含む自然数、0を含まない自然数、正の整数、正の有理数などですかね。自然数公理主義では帰納的集合の共通部...
数学とか 無理数は無限にある
有理数の間には常に無理数がある有理数+無理数=無理数①a<n⇒a/n>a/n+1>a/n+2...>0②ある無理数aを大きな有理数nで割るとその値は無理数であり、かつ0へ近づく任意のx<yにおいて、xに小さな無理数aを足すとその値は常に無理...
数学とか 無理数と有理数の性質
有理数×無理数=無理数有理数の加法と乗法の閉性より有理数×有理数=有理数有理数+有理数=有理数となります。有理数×無理数=有理数だと仮定します。無理数=有理数/有理数(乗法逆元)以上は有理数の演算が閉じている要請を満たしていません。矛盾しま...
数学とか 有理数の大小関係
加法の大小関係デデキント切断の準備をします。感覚的には「任意の正数xに任意の正数y足した値はxより大きくなる」は自加法律を見れば自明です。ただ、年の為に確認します。0<1,x(仮定)0+x<1+x(加法律)x<1+x(単位元)0<1,x⇒x...
数学とか 乗法と乗法逆元の性質
積の大小関係乗法の大小関係の性質。既に導いたx<y⇒0<y-x=y+(-x)①の加法の性質を用います。0<x≤y≤z(仮定)0≤x(z-y)(乗法律と①)0≤xz-xy(分配法則)xy≤xz-xy+xy(加法律)xy≤xz(単位元)0≤x≤...
数学とか マイナス×プラス=マイナス
マイナス×プラス=マイナス0≤x,y⇒-x,-y≤0①と0x=0②との定理を用います。-1･-1=1の証明。-1+1=0(加法逆元)-1+-(-1)=0(加法逆元)-(-1)=1(加法一意性)①-1･a=-a(仮定)-a･-b(仮定2)-1...
数学とか 加法律から導かれる性質
実数の加法律からどんな性質が導けるのかを考えます。加法律は演算の後で順序の性質が保たれることの要請。0≤x⇒-x≤00≤x(仮定)(-x)+0≤(-x)+x(加法律)-x≤0(単位元と逆元)0≤x⇒-x≤0(含意)xが0以上ならば-xは0以...
数学とか 任意の数の平方は0以上
x≠0⇒0<x²プラス×プラス=プラスは乗法律はにより定義済み。マイナス×マイナス=プラスの証明の続き。0以外の平方は0より大きくなる証明。0より大きいか0の場合は定義されています(乗法律)。従って0より小さい平方の証明だけをやります。x<...