数学とか 連分数展開 √2の近似
無理数を小数で表現する方法の別の手法。 今回は連分数で無理数を近似してみます。 √2の連分数展開 まずは連分数で表せる形に√2を変形します 準備1 $\sqrt{2}$(仮定) $1-1+\sqrt{2}$(加法逆元) $1+\sqrt{2...
公理主義
数学とか 数学とか 分数の乗法逆元と連分数展開 $(\frac{x}{y})⁻¹=\frac{y}{x}$
分数の逆元 無理数についてのお勉強。 連分数を用いると無理数の規則性が見いだせるとの情報をを聞きつけました。 その前に連分数の計算規則が公理から導出できるのかの確認。 $(\frac{x}{y})⁻¹$(仮定) (x･(y⁻¹))⁻¹(分数...
数学とか 有理数 演算の閉性
有理数の加法の法則 このでは整数を ℕ∨-ℕ∨0 と定義します。 定義より、ℕ⊂ℤであるので整数の加法は閉じています。 有理数の加法の性質を導きます。 (仮定) z₁/n₁･1+z₂/n₂･1(乗法単位元) (z₁/n₁･n₂･n₂⁻¹)+...
数学とか べき乗の指数法則 $a^{m}≠a^{n}→m≠n$
べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n ...
数学とか べき乗の分配法則 $a^{xy}=(a^{x})^{y}$
べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n ...
数学とか 指数の加法法則 xⁿ･x¹=xⁿ⁺¹
べき乗の性質 べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗...
数学とか べき乗の大小関係 1
べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n ...
べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n ...
数学とか 指数の法則 複利の計算式
複利計算 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n...
数学とか 指数の法則 底を共有する指数の大小関係
指数の性質 指数の性質を考えます。 (仮定) ⊥(正と負の乗法) ¬(x<0∧0<y→0<xy)(背理法) ¬(¬(x<0∧0<y)∨0<x･y)(→言い換え) ¬(0<x∨y<0)→x･y<0(ド・モルガンの法則) x<0∧0<y→x･y...
数学とか 数学的帰納法の雰囲気その三
数学的帰納法 例題)1²+2²+3²+...x²=x(x+1)(2x+1)/6※1 x=1(仮定) (1･2･3)/6=1(代入) 1²=1(代入) 1=1(同値関係) 数学的帰納法の第一段階完了。 次は第二段階。 ※1がx任意のxにn成り...
数学とか 数学的帰納法の雰囲気その二
数学的帰納法 無理数って何？→アルキメデスの性質って何？→無限大や無限小って何？→無限はどう対処するの？(今ここ) 「無限大」というのは、「どの実数よりも大きな数」という形で捉えられていると思われるが、特定の数を表しているわけではなく、「い...
数学とか x⁰=1
形式的な証明 まずは形式的な証明。 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には...