推論規則のみでa∨b⇔b∨aの証明ってできないのかなーと調べている過程で新たな論理記号を知ったので共有します。これまで復習の意味合いが強い内容です。
同値と必要十分条件、含意と恒真式
→と⇒
p→qが常に真、つまり恒真式の場合はp⇒qと表すことができます。
⇒はpがqの十分条件、必要条件を表していて、
p⇒q
の場合は「qはpの必要条件」「pはqの十分条件」となります。
| 前提（命題1） | 結論（命題2） | P→Q（PならばQ） |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 偽 | 偽 |
| 偽 | 真 | 真 |
| 偽 | 偽 | 真 |
表で説明します。
⇒は→が恒に真である場合に使用が認められます。
表のp⇒qが真、かつをpを真に固定した場合は一通りだけ。
p→qが恒真式、つまりp⇒qの場合にはpの値が決まるとqの値は必然的に決まってしまいます。p⇒qのpの値を知るだけで「十分」なので「十分条件」です。
一方、qを真に固定した場合に恒真式p⇒qが成立するのは「pが真かつqが真」「pが偽かつqが真」「pが偽かつpが偽」の三通りです。
pが真は「必要」だけど、それだけでは十分ではないので「必要条件」になります。
↔と⇔
さらに含意が両方向から成り立つ場合、つまり「p→qかつq→p」の場合はp↔qと表します。
また→と⇒のように、p↔qが恒真式の場合はp⇔qと表現するのとが認められています。
p⇔q
は「pとqは論理的に同値である」
または「pとqは必要十分条件である」と言います。
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